〚金典必修1-1.1.1-e3〛☆🏅

题目

设集合A含有三个元素$a+2、(a+1{)}^2、a^2+3a+3$，若1∈A，求实数a 集合初步、※ 数学检验的客观原因、、〚金典必修1-1.1.1-e3〛☆🏅

解答

I 需要检验的客观原因

求解过程，是一直在做问题转化的过程。转化中，有时是“等价转化（充分必要）”，更多时仅是“必要转化”。

原问题，有3个约束

• ①A有3个元素；
• ②元素分别是：$a+2、(a+1{)}^2、a^2+3a+3$；
• ③1∈A

实际解题过程

1. 分别等1：$a+2=1or(a+1{)}^2=1or{a}^2+3a+3=1$
2. 求解：$a=-1ora=0、-2ora=-1、-2$
3. 故，（错误的）得到3个解：0、-1、-2

哪里出错了？

1. 原题有3个约束限制
2. 解题中，仅仅考虑了后两个约束限制 —— ②元素分别是：$a+2、(a+1{)}^2、a^2+3a+3$； —— ③1∈A
3. 解题中，并没有考虑第1个约束限制 —— ①A有3个元素
4. 你减少了约束限制，当然答案就有可能变多。这便是需要检验的客观原因，即“解题过程逻辑不等价，从而检验不可或缺”

II 理论上的解题过程

1. 问题转化为 $\{\begin{array}{c}a+2=1or(a+1{)}^2=1or{a}^2+3a+3=1\\ a+2\ne (a+1{)}^2\\ (a+1{)}^2\ne a^2+3a+3\end{array}$
2. 求解$\{\begin{array}{c}a=0、-1、-2\\ a+2\ne (a+1{)}^2\\ (a+1{)}^2\ne a^2+3a+3\end{array}$
3. 合并（类似于解不等式组的“合并”）$a=0$ ——由于不等于限制条件，只有a=0是合并后的答案

III 解题中的不完美，导致需要检验

1. 理论上的解题过程，虽然保证直接结果正确，但繁琐，故实际不用；
2. 这是一个主动选择的有意的“不完美”，认为摈弃繁琐，需要承担的代价便是“需要检验”——这和分式方程验根、根式方程验根，是同一个道理。
3. 这里，属于格式化的解题、验根。即：这些验根的地方已经形成固定的格式套路。老师都会教，大家也都会这么做（不妨碍忘记实际没有做）
4. 还有一些非格式化地方，一道普通的问题，由于求解中无意的非等价转化，导致客观逻辑上需要检查。这类地方带有更大隐蔽性。
5. 理想的状态是，对于解保持敬畏，明白检验的必要性，形成所有问题都检验的习惯。
6. 检验、（慢慢）计算、（慢慢）读题，在解题中都需要认真对待，并且并不会因此多花时间，解数学题的时间主要花在思考上，检验、（慢慢）计算、（慢慢）读题，都是性价比很高的事情。

附注

☆☆☆☆💯🏅👍🙇✶✷✸✹✺ 创建时间： 2026-06-28 06:49