〚金典必修1-1.1.2-e4〛映射集合是否相等【习题精解】☆☆🏅

题目

已知集合$X=\{x|x=a+b\sqrt{2}，a、b\in Q，x\ne 0\}$，在下列集合中： (1) $A=\{y|y=2x，x\in X\}$; (2) $B=\{y|y=x/\sqrt{2}，z\in X\}$; (3) $C=\{y|y=1/x，z\in X\}$; (4) $D=\{y|y=x^2，x\in X\}$; 与$X$相同的集合有哪些？ 集合初步、留痕阅读、一一对应、考试是考试，学习是学习、专题学习务实、※题目分类、※ 规则化公式化、〚金典必修1-1.1.2-e4〛映射集合是否相等【习题精解】☆☆🏅

写在前面

继续，陪格格预习高一数学第1章碰到的问题。

这道题，中上难度。体现在：①对无限集合接触不多会带来困难；②对“一一对应”的思想掌握应用不扎实；③“一一对应”的基础处理方法；④进一步，需要找到“清晰、简洁”的规则化解题方法。

这道题的扎实求解，对于能力成长的一般价值主要体现在： ①“一一对应”这个底层逻辑；👉一一对应 ②体会学习和考试的不同，学习中需要扎实的、耗时的做很多额外（相对找到答案）的工作，以便考试中才能高效解题；👉考试是考试，学习是学习 ③具体的解题规则化是什么样子 👉※ 规则化公式化

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解答

I 集合相等的底层逻辑

——即：一一对应

II 判断 一一对应 的基本方法

判断一一对应的基本方法

A中任意一个，B中有且只有一个与之对应 B中任意一个，A中有且只有一个与之对应

特别的：这里的对应，有时是“相等”，有时是“某种明确的关联（比如2倍等等）”

指向原始笔记的链接

III 无限集合的一一对应，初步

学习一个专题，沉下心，从最基础的问题开始

1. 最基础的无限集合 $\{x|x\in N\}$ 自然数，对于+-×÷都不封闭，即：运算后会跑出去，跑到自然数之外 ——加、乘：准确说是封闭的，但元素有减少； ——故：$\{x|x\in N\}$ 和 $\{y|y=x+3，x\in N\}$ 、$\{y|y=x\times 3，x\in N\}$ 不相等 ——减：元素有增加，拓展出负数，“自然数→整数” ——除：元素有增加，拓展出正分数，“自然数→正有理数” ——故：$\{x|x\in N\}$ 和 $\{y|y=x-3，x\in N\}$ 、$\{y|y=x÷3，x\in N\}$ 不相等 自然数集合的四则运算之后，元素有增减，竟然有增减！ 自然数集合，减法的绝对值集合，相等 ——故：$\{x|x\in N\}$ 和 $\{y|y=|x-3|，x\in N\}$ 相等
2. 整数集合 $\{x|x\in Z\}$ 整数集合，对于＋、-、×完全封闭，运算后还是自身 ——$\{x|x\in Z\}$ 和 $\{y|y=x+3，x\in Z\}$、$\{y|y=x-3，x\in Z\}$ 相等 ——$\{x|x\in Z\}$ 和 $\{y|y=x\times 3，x\in Z\}$ 相等 整数集合，对于÷运算，会拓展范围 ——整数÷之后，会产生份数，“整数→有理数” ——$\{x|x\in Z\}$ 和 $\{y|y=x÷3，x\in N\}$ 不相等
3. 有理数集合 $\{x|x\in Q\}$ 有理数集合，对于＋、-、×、÷完全封闭，运算后还是自身 ——$\{x|x\in Q\}$ 和 $\{y|y=x+a，x、a\in Q\}$、$\{y|y=x-a，x、a\in Q\}$ 相等 ——$\{x|x\in Q\}$ 和 $\{y|y=x\times a，x、a\in Q\}$、$\{y|y=x÷a，x、a\in Q，a\ne 0\}$ 相等 有理数，对于“开平方”运算，会拓展范围 —— $\{y|y=\sqrt{x}，x>0，x\in Q\}$ 变成 正实数集合 —— $\{y|y=\sqrt{x}，x\in Q\}$ 变成 正虚数集合
4. 实数集合 $\{x|x\in R\}$ 实数集合，对于＋、-、×、÷完全封闭，运算后还是自身 实数集合，对于“开平方”，保持封闭 即：$\{x|x\in R\}=\{y|y=\sqrt{x}，x\ge 0\in R\}\bigcup \{y|y=-\sqrt{x}，x\ge 0\in R\}$

IV 本题中根式集合比较

学习角度的解题，最怕以答案为最终目的。相反，更重要的是把基础坐牢，把枝枝蔓蔓弄清清楚。👉考试是考试，学习是学习

IV.1 基础读题分析 👉留痕阅读

数学问题，怎么叫都懂？不能是表面意思，至少要深入一个层次的理解。简单说，就是要读出来表面没有的一些东西。 针对，$X=\{x|x=a+b\sqrt{2}，a、b\in Q，x\ne 0\}$ 可以包括以下：

1. 包含三种类型的元素：①0之外的有理数在内；②0之外的有理数×$\sqrt{2}$在内；③混合项在内
2. $\frac{1}{a+b\sqrt{2}}$ 可以做有理化，
3. $\sqrt{a+b\sqrt{2}}$ 有可能分解开
4. 不变性： $(a+b\sqrt{2}{)}^n$还是通用的结构 以上，不要求都解读出来，但尽量分析透彻，是解题的基础，是解题的好习惯。

IV.2 第一个案例，认真的研究

问题：$X=\{x|x=a+b\sqrt{2}，a、b\in Q，x\ne 0\}$ 和 $A=\{y|y=2x，x\in X\}$; 是否相等

严谨的“一一对应”证明：

1. $\forall x\in X，x/2\in X，2(x/2)\in A，故:x\in A$
2. $\forall y\in A，x\in X，2x\in X，故:y=\in X$ 逻辑过程是很严谨，可是有点烧脑。认真思考一遍其中的道理，但是不能实际中总是这么做。即：学习中，可以这么做几次；但要寻求更简洁方法，考试时用。 （👉考试是考试，学习是学习）

尝试给出简洁的方法 （👉 ※ 规则化公式化）

1. 仔细分析 $\forall x\in X，x/2\in X，2(x/2)\in A，故:x\in A$， 这个推理过程中唯一的关键逻辑是：逆运算封闭 即： “$x\in X，有x/2\in X$” 这样，可以保证：原集合的元素，在新集合中都存在。

2. 同理，若有：运算封闭“$x\in X，有2x\in X$” 可以保证：新集合的元素，也都在原集合内。

3. 故：判断“集合、运算后集合”是否相等的方法 ——满足，运算后的元素，还属于原集合 ——满足，逆运算后的元素，还属于原集合

V 使用（找到的）规则，判断其他选项

1. $X=\{x|x=a+b\sqrt{2}，a、b\in Q，x\ne 0\}$ 和 $B=\{y|y=x/\sqrt{2}，z\in X\}$; 是否相等 这里的运算是：$\ast /\sqrt{2}$；逆运算是：$\ast \sqrt{2}$ ——运算：$(a+b\sqrt{2})/\sqrt{2}=b+\frac{a}{2}\sqrt{2}$ 依然属于原集合 ——逆运算：$(a+b\sqrt{2})\sqrt{2}=2b+2a\sqrt{2}$ 依然属于原集合 故：两个集合相等
2. $X=\{x|x=a+b\sqrt{2}，a、b\in Q，x\ne 0\}$ 和 $C=\{y|y=1/x，z\in X\}$; 是否相等 ——运算：$1/x=1/(a+b\sqrt{2})=(a-b\sqrt{2})/(a^2-2b^2)=a/(a^2-2b^2)+\frac{b}{(a^2-2b^2)}\sqrt{2}$ 依然属于原集合 ——逆运算，等同运算 故：两个集合相等
3. $X=\{x|x=a+b\sqrt{2}，a、b\in Q，x\ne 0\}$ 和 $D=\{y|y=x^2，x\in X\}$; 是否相等 ——运算：$x^2=a^2+b^2+2ab\sqrt{2}$，依然属于原集合 ——逆运算：$\pm \sqrt{x}=\pm \sqrt{a+b\sqrt{2}}$ ————设：$(m+n\sqrt{2}{)}^2=a+b\sqrt{2}$ ————有：$m^2+n^2=a，2mn=b$ ————有：$(m+n{)}^2=a+b，(m-n{)}^2=a-b$ ————若a<b，则a-b<0，m、n无解；若a<-b，则a+b<0，m、n也无解 ————故：$\pm \sqrt{a+b\sqrt{2}}$ 不一定属于原集合 ————意味着：逆运算不封闭； ————意味着：原集合中某个元素，在新集合中不一定存在 ————根据上面分析举例：$1+2\sqrt{2}\in X$ ，但是 $1+2\sqrt{2}\notin D$

VI 解题复盘

1. 资料上给的解题方法（指导）
2. 资料上给的解题方法（指导）并不太好 首先：带入化简，只能解决：$新集合\subset 原集合$ 但是：“不成立，举反例”这个说起来容易，做起来不知所措。第一，如何猜想出可能不成立？第二，反例万一想不到呢？这两个问题都没有清晰明确的解决方法。 相比较：对于“运算、逆运算”分别进行分析，是清晰可行的方法 由此，可以看到，对于典型问题，找到清晰、简洁的处理方法，是有效的学习手段，锻炼综合能力，也具有很高的实用价值。👉※ 规则化公式化
3. 解题中的问题 如下，参考答案 问题在哪里？按照（1）（2）（3）的分析方法，（4）也完全成立，即 $(a+b\sqrt{2}{)}^2=a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}=p+q\sqrt{2}$。所以，问题便是：前3个分析中有漏洞，根本不是充分的判断，否则第（4）也通过一一对应检查了，实际仅仅是半个一一对应；另外，第（4）个分析没有给出去寻找反例的原因以及方法。 这里，无意去批判答案凸显自己，仅仅就事论事，去看看“清晰、简洁”的处理方法，是一个严谨的要求。事前学习中多做工作，时候考试中就轻松自如。

附注

☆☆☆☆💯🏅👍🙇✶✷✸✹✺ 创建时间： 2026-06-29 06:43