〚金典必修1-2.1.3-t6〛基于不定方程的大小比较☆🏅

题目

设实数a、b、c满足 $b+c=6-4a+3a^2，c-b=4-4a+a^2$，试确定a、b、c的大小关系

解答

👉比较与对齐

比较大小，首先要可比较，——这题中a、b、c初看并不好比较——可比较表现为：

• 相同的格式，比如单位一样；
• 相似的形状，比如都是分数；
• 相同的表达，比如都用同一个参数；
• 相同的起点，比如绳子一段对齐；
• 相同的局部，比如分母一样或分子一样； 对的越整齐，越容易比较。这里，a、b、c怎么对齐，怎么比较？——比如，可以都用a表示，那么不就方便比较了吗。解题思路，常常就是在这一念之间。

👉不定方程与参数通解

题目给了两个条件，$b+c=6-4a+3a^2，c-b=4-4a+a^2$ 但凡数值之间的关系，都可以理解为方程。这里3个变量，2个方程，属于不定方程。如果把a看作未知数，那么就是适定方程。易得： $\{\begin{array}{c}c=5-4a+2a^2\\ b=1+a^2\end{array}$ 这是解题关键步骤。

题解

$a-b=a-1-a^2=-\frac{1}{4}+a-a^2-\frac{3}{4}=-(\frac{1}{2}-a{)}^2-\frac{3}{4}<0$ $b-c=-4+4a-a^2=-(2-a{)}^2\le 0$ $c-a=5-5a+2a^2；\Delta =25-4\times 2\times 5=-15<0；故:5-5a+2a^2>0；故:c-a>0$ 以上，$a<b\le c$ 以上，第3行，针对解题没有起到作用 以上，第3行，Δ的判断方法，有价值

👉※ 守正出奇

题目中，自含 $c-b=4-4a+a^2$，可以直接分析出b、c的大小关系。 但这个处理，并不具有代表性，并非所有类似题目，都会直接给出此类条件。 因此，我们还是要更关注“具有通用性”的解题规则，即：将此类不定方程组，固定合适的变量作为已知作为参数，完成其他所有变量的参数表达。这是此类问题的通用处理方法。

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇✶✷✸✹✺ 创建时间：