题目
小高和墨莫分别从相距60千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑行。已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米。请问：出发后多长时间，小高第五次追上墨莫？ ——多次往返、环形路线、结果与过程、模式思想、〚260317〛多次往返-思维解析☆☆☆🙇
解答
朴素的方法
最初、最朴素自然的思路，便是分析从头至尾的分析发生了什么 ——因为有距离、有速度，所有一切都是确定的可知的 ——这样分析，过程复杂，但思路清晰
分析如下（分析到第2次追上）：
第1个时间点，两人第1次相遇
第2个时间点，高到达了B点，莫还在B→A的路上
第3个时间点，高在折返，在B→A的路上，追上了莫
第4个时间点，高返回到A点，莫还在B→A的路上
第5个时间点，高第二次A→B，与莫相遇
第6个时间点，高第二次到达B，莫折返在A→B的路上
第7个时间点，高再次返回A点，莫还在A→B的路上
第8个时间点，高第三次到达B，莫返回到B点后，在B→A的路上
第9个时间点，高B→A，莫B→A，高第2次追上了莫
以上分析，每个时间点需要的具体时间，每个时间点高、莫所走的路程，以及高莫所在的位置，都可以计算 ——计算复杂，但道理清晰
继续，我们可以找到第三次相遇的时间 ——计算依然复杂，道理还是清晰
具体计算，略——实在太复杂了
思维方式的转变
以上方法理论上可行，实际难以做到 更重要，这不是数学该有的样子 ——数学，要的是抽象、总结、找规则、找简洁清晰的逻辑和高效解决方法 ——若，大量重复大量劳动，即便能找到答案，在数学上并不算问题解决了
至此，需要进一步思考
- 第1次相遇，怎么计算时间？总路程÷速度和
- 第1次追上，怎么算时间？ 高在B折返，莫在B→A的路上，这是一个追及 若从出发开始算，两个人时间相同，路程不同，是不是也是一个追及？
- 第2次追上 若从出发开始算，两个人时间相同，路程不同，是不是也是一个追及？ 如果是追及问题，那么最重要的“路程差”是多少？
关于“路程差”的分析
- 第1次追及，路程差，从图形可以找到答案：路程差=60km
如图，速度21、9，很快追上的样子：
但是，如果：一个速度21km/h，一个速度19km/h
那需要兜好多圈，才能出现第1次追上，这就很不好弄
如图，速度21、19，慢慢追上的样子：
- 第1次追及，路程差，换个方式分析
这样思考，有什么好处？
看起来，把简单的事情，想复杂了
但，想复杂了，就有机会更好一点应对复杂情况
如图，速度21、19，慢慢追上的样子： 
即：不再关注来来回回饶了多少趟，绿色和蓝色相比，只是多走了“第1段A→B”，即图中的红色。换个角度，比较时把终点对齐，多出来的是“绿色开始的那一段”。想明白这一点，是整个题目（这一类题目）的关键。如果还不清晰，再换个角度，参考下图： 
- 第2次追上，路程差 若第1次追上，相差一段60km，能用新的思路理解；那么第二次追及，两人是从同样位置再次开始，此时“追上”需要“绕一个来回，多走2个60km”；如果再追上一次，需要再“多走2个60km”
新的方法
在以上分析下，题目的解答变得容易 第1次追上
- 需要时间： 第2次追上
- 新需要的时间：
- 总需要： 第3次追上，总需要： 第5次追上，总需要：
两个思维方式小结
最初的思考，是朴素的、自然的，是基于过程的思考 即，尝试把整个过程分析明白，从而找到答案
新的思考方式，是一个思维的跃迁，是基于结果的思考 即，不再关注中间发生了什么，只关注，达到最后的结果，会发生什么，会有什么样的数量之间的关系。
两者并无高下之分 如果我们需要的数据，和过程具体相关，那无论如何是要分析过程；如果不论过程如何，完成后总有一个不变的量累积下来，而我们要的数据，恰和这个不变的最后累积的量有关系，那么就可以放弃过程分析，只看结果。
这一章节题目，这一个行程问题的升级，学会怎么解，是一个小价值；其更有意义的地方在于：体会新的思维方式，为将来更多问题做能力储备。
关于 结果与过程 不同思维方式的几个小例子
- 计算 基于过程，一步一步去括号 基于结果，只看5前面“-”的个数
- 如下问题
基于过程，先看增加了多少，增加了6a；再看减少了多少，减少了6(a+6)；减少的更多； 基于结果，起初面积，后来面积题目
指向原始笔记的链接 - 并非基于结果就简单，所有符合 分步思想 的 问题，都是基于过程更简单。一个例子：
题目
指向原始笔记的链接 - 再一个基于结果思考的行程问题：
题目
指向原始笔记的链接
一个小的拓展
至此，问题已算解决。
为更清晰扎实的掌握这类题目的关键道理，不妨再看下这个问题：
——两地还是60km，甲从中点出发往A点，速度21km/h，不断往返；乙从B出发往A，速度19km/h，不断往返。请问，第三次甲追上乙时，甲比乙多走了多少公里？需要时间是多少？
解析：
- 第一次追上，甲比乙多走：30+60
- 第二次追上，甲比乙再多走：60×2
- 第三次追上，甲比乙再多走：60×2 可见：出发点不同，仅影响首次追及的路程差，不影响后续追及的路程差。
一个有益的思维模式补充
最后，回头看，整个问题的关键是：“路程差” 这里，补充一个有趣的、有帮助的思考角度：想象成环形
本来，两个人是这样移动的：
但，不妨这样理解：
把直线，想象成一个圈，看起来改变了题目 但这一个“很扁、很扁、很扁…的圈”，在上面绕圈和直线往返对解题并没有影响——实际中，也不可能到了终点，原地跳一下完成掉头；多少，也要兜个几米的小弯掉头。实际上，即便不很扁，也没有影响。
这个改变，让思考变得简单清晰。 在一个环形跑道上，追来追去，更容易理解初始的路程差（半个环形）；也更容易理解，“后面的路程差=套圈”，一圈就是2个60km。
这个思维方式，数学上称之为模式思想 即：自己给问题一个理解模式，逻辑上不影响问题求解，但思考上更简洁。
模式思想，也非常有用，比如计数问题、抽屉原理、诸多应用题中都时不时可以用到。不过，相对而言，想到处理问题的新的模式，是一件不太容易的事情。
既然，是行程问题主题，同样再举一个行程问题的例子，用来说明 模式思想 的应用。参考：
这里，不详细讨论如何解题，而是主要关注难点：题目
指向原始笔记的链接
解题中的模式变化
题目相比普通的行程问题要复杂一些，其原因在于“运动的物体自己有了长度”。此时，我们还没有什么相对速度的概念，但有一个处理方式能帮到我我们，即： 把运动的火车，想象成是一个坐在车头的司机（或者车尾的某个人）在运动 ——如此，就变成了一个相遇或追及等普通追及问题。 这里，便是 模式思想。
指向原始笔记的链接
附：行程问题 一览
Transclude of 行程问题#内容综述在《高思课本》中，从4至6年级，有十多个章节关于行程问题
Transclude of 行程问题#资料参考本题，是第5阶段 “多次往返、环形路线”的一道题目。
附注
👍☆☆☆☆💯🏅🙇✶✷✸✹✺ 创建时间： 2026-03-17 07:49