关联与解读

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均值不等值，基础应用 - 乘积最大值

1. 基础学习

   题目

   已知 $x>0,y>0,2x+y=1$，求 $xy$ 的最大值？ 已知 $x>0,y>0,0.7x+y=3$，求 $xy$ 的最大值？ 已知 $x>0,y>0,2x^2+3y^2=5$，求 $xy$ 的最大值？

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是什么

均值不等式

1. 平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均 ——a>0，b>0 $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ge \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
2. 三元形式 a>0，b>0，c>0 $a^3+b^3+c^3\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{9}\ge \frac{(a+b+c{)}^3}{9}\ge 3\sqrt[3]{abc}$
3. 均值解释 平方平均——边长a正方形、边长b正方形，按“面积不变”做个平均 算术平均——a、b，按“和不变”，做个平均 几何平均——长宽a、b的长方形，按“面积不变”做个平均 调和平均——速度a、速度b，按“路程相等”做个平均
4. 均衡特性 ①次数相等，每一项，都是1次 ②数量相等，每一项，都是1项，相当于1个a或b
5. 应用口诀：一正、二定、三相等 这里，一二三，是序数词，第1、第2、第3的意思 不是基数词，不是1个、2个、3个的意思

均值不等式，变化 (平方，或者根号)

1. $a+b\ge 2\sqrt{ab}$
2. $ab\le (\frac{a+b}{2}{)}^2$
3. $(a+b{)}^2\ge 2(a^2+b^2)$
4. $\sqrt{a}+\sqrt{b}\le \sqrt{2(a+b)}$
5. $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$
6. $x+\frac{1}{x}\ge 2$
7. $a^3+b^3+c^3\ge 3abc$
8. $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$
9. $(\frac{m}{x}+\frac{n}{y})(ax+by)\ge am+bn+2\sqrt{abmn}$ 🔺

均值不等式，基于“排序不等式”

1. 排序特征 $a^2+b^2$，全是平方项，全是顺序乘积； $(a+b{)}^2$，包含平方项和混合项，一部分顺序乘积、一部分逆序乘积 ab，全是混合项，全是逆序乘积
2. 均值不等式中的均值，相当于“排序不等式”下各种顺序组合的不同组合的均jun’zhi充分的理解，参考“用排序不等式证明三元均值不等式” 👉〚260815〛☆☆📋

   题目

   已知，a>0，b>0，c>0，证明 $\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{9}\ge \frac{(a+b+c{)}^3}{27}\ge \frac{(ab+bc+ca)(a+b+c)}{9}\ge abc$

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算术均值≥几何均值

1. 一般形式$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}，当且仅当x_1=x_2=...=x_n时等号成立$
2. 二元形式 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}，当且仅当a=b时等号成立$
3. 三元形式$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}，当且仅当a=b=c时等号成立$

算术均值≥几何均值，解析

1. 齐次 不等式的左边，$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$，是1次；右边 $\sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}$ 也是1次
2. 等量 右边 $\sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}$ ，n个相乘，再开n次方，相当于1个x 所以，左边，需要“÷n”
3. 二元形式的变形 $\frac{(a+b{)}^2}{4}\ge ab$ 左边，相当于4个二次项，因此有“÷4”
4. 正数 仅针对“正数”成立，
5. 证明 二元、三元，可以有很多方式证明 通用的证明，可以依赖于 👉※排序不等式 ——考虑 $(x_1+x_2+...+x_n{)}^n$ ——展开后，包含 $n^n$项 ——n项分为一组，最大的一组是：$x_1^n+x_2^2+...+x_n^n$，最小的是$x_1{x}_2...x_n\times n$ ——故有：$(x_1+x_2+...+x_n{)}^n\ge n^{n-1}\cdot (x_1{x}_2...x_n\times n)$ ——然后开n次方，得证 如果不太理解以上证明，可以用三元的情况举例子

算术均值≥几何均值，解析

1. 计算“和：最小值”，需要“积：常数”，确保“=”成立 积：常数的两种情况，①已知直接给出；②分子分母抵消 情况①比如，已知abc=8，求a+b+c的最小值；$a+b+c\ge \sqrt[3]{8}=2$ 情况②比如，$\frac{8a^2}{9b^3}+\frac{c^2{b}^2}{3a}+\frac{b}{a{c}^2}\ge 3\sqrt[3]{\frac{8a^2}{9b^3}\cdot \frac{c^2{b}^2}{3a}\cdot \frac{b}{a{c}^2}}=3\cdot \frac{2}{3}=2$ 情况②如果分子分母次数不等，需要“等量拆分”调整次数
2. 计算“积：最大值”，需要“和：常数”，确保“=”成立 与上雷同
3. 关于“差大积小” 为什么“和”只能计算最小值？ ——因为 ab=1，可以让a很大，a=1000000，那么结果就很大 ——从均值不等式的结构看，也是“a+b+c≥…”，求的是最小值 各项的“差”对结果的影响？ ——大的角度看，“和、积”，是同方向增减。即：比例不变，和越大积越大；反之亦然 ——“各项差”影响的是： ————在“和”固定时，“积”能更大一点； ————在“积”固定时，“和”能更小一点； ————可以理解为：“和”不变时，每项的分布，是对“积”的微调；反之亦然 ——当“各项差=0”，达到极致