是什么

排序不等式 如果 $a \geq b \geq c \geq d 、 x \geq y \geq z \geq w$ ，那么

顺序乘积的和： $A = a x + b y + cz + d w$
乱序乘积的和： $B = a y + b w + c x + d z$
逆序乘积的和： $C = a w + b z + cy + d x$
以上大小关系：A≥B≥C 对于2个、3个，以及更多个数的组合都成立

形象的理解： $a = 4 ， b = 3 ， c = 2 ， d = 1 ， x = 400 ， y = 300 ， z = 200 ， w = 100$ 顺序，相当于4个400，3个300，2个200，1个100 逆序，相当于4个100，3个200，2个300，1个400 同样都是4+3+2+1=10个，顺序里面400多100少，当然更大

排序不等式证明——证明“顺序乘积的和，最大”

先证明简单情况如果 $a \geq b 、 x \geq y$ ，那么 $a x + b y \geq a y + b x$ $a x + b y - (a y + b x) = a (x - y) + b (y - x) = (a - b) (x - y) \geq 0$
再递归证明所有情况 👉递归如果 $a_{1} \geq a_{2} \geq ... \geq a_{n} 、 b_{1} \geq b_{2} \geq ... \geq b_{n}$ 那么 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{n} b_{n} \geq a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + ... + a_{n} c_{n}$ 这里 $c_{1}, c_{2}, ..., c_{n}$ 是 $b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}$ 打乱顺序后的排列证明假设 $c_{1} \neq = b_{1}$ ，那么 $b_{1}$ 会出现在另一个位置，比如 $c_{i} = b_{1}$ 根据上面结论: 如果 $a \geq b 、 x \geq y$ ，那么 $a x + b y \geq a y + b x$ 那么，将 $c_{1} 、 c_{i}$ 调整一下顺序， $a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + ... + a_{n} c_{n}$ 会变得更大一些如果， $c_{1} = b_{1}$ ，那么继续检查“ $c_{2}$ ” 以此类推最后， $a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + ... + a_{n} c_{n}$ 不断变大后，变成 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{n} b_{n}$ 结论得证

特例，当两组数相同时(a b)=(x y) n=2， $a^{2} + b^{2} \geq ab + ab ，当且仅当 a = b 时，等号成立$

“大的乘大的、小的乘小的”要比“大的乘小的、小的乘大的”更大
比如：2×2+5×5 要比 2×5+5×2 大
可以直接来自于： $(a - b)^{2} \geq 0 ，故： a^{2} + b^{2} - 2 ab \geq 0$

一种变形， $a = x ， b = y ， \frac{x + y}{2} \geq x y$

“ $\frac{x + y}{2}$ ”称为算术平均值，“ $x y$ ”称为几何平均值
即：算术均值≥几何均值
故：这个不等式又称为均值不等式，此时要求： $x \geq 0 ， y \geq 0$
均值不等式的拓展： $\frac{a + b + c}{3} \geq 3 ab c$

再一种变形 $a = x, b = \frac{1}{x}$ 有 $x + \frac{1}{x} \geq 2 ， x > 0$ 再一种变形 $a = \frac{x}{y}, b = \frac{y}{x}$ 有 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 ， x 、 y > 0$

另一种变形， $2 (a^{2} + b^{2}) \geq (a + b)^{2} \geq 4 ab$

$2 (a^{2} + b^{2})$ 相当于： $a^{2} + a^{2} + b^{2} + b^{2}$
$(a + b)^{2}$ 相当于： $a^{2} + ab + ab + b^{2}$
$4 ab$ 相当于： $ab + ab + ab + ab$
以上三者的大小关系变得显然 ——可以通过排序不等式理解 ——也可以通过 $a^{2} + b^{2} \geq ab + ab$ 来理解

特别的，以上不等式

等号成立的条件都是“=”
如果不等式包括平方，对正负没有要求；否则，仅仅适用于“正数”

特例，当两组数相同时(a b c)=(x y z) n=3， $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a ，当且仅当 a = b = c 时，等号成立$

首先，这个不等式可以通过“排序不等式”证明。如下，组合相乘 $a b c \times a b c$ 顺序相乘，a×a+b×b+c×c，结果最大乱序相乘，a×b+b×c+c×a，结果较小
其次，直接用n=2时结论叠加 ∵ $a^{2} + b^{2} \geq 2 ab 、 b^{2} + c^{2} \geq 2 b c 、 c^{2} + a^{2} \geq 2 c a$ ∴ $(a^{2} + b^{2}) + (b^{2} + c^{2}) + (c^{2} + a^{2}) \geq 2 ab + 2 b c + c a$ ∴ $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a ，当且仅当 a = b = c 时， " = " 成立$

一个常用的变形： $3 a^{2} + 3 b^{2} + 3 c^{2} \geq (a + b + c)^{3} \geq 3 ab + 3 b c + 3 c a$ —— $当且仅当 a = b = c 时，等号成立$

n=4 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} \geq ab + b c + c d + d a ，当且仅当 a = b = c = d 时，等号成立$

高维排序不等式 若 $a \geq b \geq c ， x \geq y \geq z ， p \geq q \geq r$ 则 axp+byq+czr 是所有组合中最大的

特别的，通过高维排序不等式，可以得到n=3 的均值不等式即三组相同的数： $3 a \geq 3 b \geq 3 c ， 3 a \geq 3 b \geq 3 c ， 3 a \geq 3 b \geq 3 c$ 最大： $3 a 3 a 3 a + 3 b 3 b 3 b + 3 c 3 c 3 c$ ，即： $a + b + c$ 不大： $3 a 3 b 3 c + 3 b 3 c 3 a + 3 c 3 a 3 b$ ，即： $3 3 ab c$ ——第一组顺序： $3 a ， 3 b ， 3 c$ ——第二组顺序： $3 b ， 3 c ， 3 a$ ——第三组顺序： $3 c ， 3 a ， 3 b$ 从而有 $a + b + c \geq 3 3 ab c$

关联与解读

本节为 Obsidian 动态视图（自动关联列表），网页版暂不展示。

〚举一反三8-11-3.3〛⭐⭐⭐🙇

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