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〚新思路三17.4.6-9〛精解☆☆🏅

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题目

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的高，E是△ABC外一点，BE=BA，∠E=∠C，若5DE=2BD，AD=8，BD=10，求△BDE的面积

※全等基础 之 构建全等、※ 边读、边画、边推理、重构约束、※ 动态分析、※ 被动约束与主动约束、※ 组合，约束的核心表达方式、验证猜想、※ 数值问题-隐含的必要特征、化归思想、※辅助线原则、正推发散、倒推聚焦、链接思维、〚新思路三17.4.6-9〛精解☆☆🏅

解析

关于“习题精解” 掰开揉碎学透一道题

昨天（2026.06.26）给ZHC同学讨论的一道题，《新思路》第17.4.6节的第9题。一节课只讲一道题，数量小、质量高。 这类精解，方便学生找到自己的薄弱点——看看自己思考卡在哪一步，括号中“👉”指向的便是相关的基础能力点。之前，一道题写一两个最关键的思维或思想；现想来，我们解题中卡住，未必是被最关键、最难的那个点卡住，可能是很多枝枝蔓蔓的细节没有过关；何况，有些内容（比如“边读、边画、边推理”、比如“辅助线原则”）是基础的、锦上添花的存在，无从凭空体会到其价值，只有主动呈现出来。为了体现特定思维思想的解读，以及一道题完整的精解，都有各自价值。

由此在想，这类题目精解，写了给谁看呢？ 首先，一部分老师，可能愿意看看； 其次，自学意识和能力强的学生，可能愿意看看； 最后，也适合部分家长，家长大部分不是数学专业，初中之后，未必对具体知识逻辑很清楚。但是，依然能感受到：数学学习是什么样子？是什么影响了一个人的数学能力？从而，也就有利于判断自家小朋友是否以比较合适、合理、高效的方式学习数学。

👉※ 动态分析 与 信息冗余

信息（条件）冗余，即给的条件可以不用，这在数学题目中有但不常见。 当前这道题，通过 动态分析 的方式，可以发现 条件给多了

题目中的E点 首先，受“BE=BA”的限制， 其次，受“DE=4”的限制 ——在平面内，一个有效的限制，便可以把点从整个平面限制到一条线上，直线或曲线；这里有两个限制，便限制在线的交点上，一般也就固定下来。

但是，题目中点E，还受“∠E=∠C”的限制 ——这就很让人紧张 ——万一符合前面两个条件的点，不符合第三个条件，怎么办？ ——要么，就是题出错了，不存在这样的点；类似于 👉※ 超定方程 的情况 ——要么，就是条件给多了

当然，这道题属于条件给多了 题，并没有出错 条件给多

  1. 形式上，相当于把一个（困难的）推理直接给出来
  2. 目的上，降低题目的难度

新问题，参考 〚新思路三17.4.6-9〛去掉冗余信息☆☆☆🙇

解答

※ 边读、边画、边推理

  1. ABCD由2小1大，比例为4:5的直角三角形组成（👉重构约束），角度都相等
  2. 点E，由DE=4，∠E=∠C两个约束限制住 （👉※ 动态分析）
  3. AD=8、BD=10、DE=4，属于被动约束 （👉※ 被动约束与主动约束）
  4. 推论：∠ABD=∠E 在“1”中涉及∠C=∠ABD； 在“2”中涉及∠C=∠E； 所有，有了这个推理 （👉※ 组合，约束的核心表达方式）
  6. 附注：BCED四点共圆，以及相应结论，属于知识积累，这里用不到。仅顺便体会知识积累的意义。
  7. 附注：ABCD所有线段长度可求，但不用立刻求出来，“求并不重要，知道可以求重要”。七年级全等阶段暂不需要，更多关联相似知识。
  8. 附注：DE、BC不平行 （👉验证猜想） ——这是容易走入的一个歧途，根据图形容易有这个“错误的猜想” ——验证错误，常用反证法。若平行，则DC、BE交点是AC中点；则DE长度由平行、∠E=∠C决定，此时DE的长度确定，可计算；考虑到AB长度是根式，最后推理出的长度恰巧是4的可能性很小。 ——若平行，且DE=4，这道题变成一道数值题目（👉※ 数值问题-隐含的必要特征） ——从而，这道题改动一下，是一道非常好的“相似计算题”，即：

    题目

    指向原始笔记的链接
    ——或者

    题目

    指向原始笔记的链接
  9. 附：带痕迹的作图过程。①4:5比例作直角三角形ABC；②作BD⊥AC；③取AD中点F，以DF为半径作圆；④过BCD三点作圆；⑤两圆交点为E点。 以上作图中，体现初步的推理，体现了条件的重构，即并不完全按照题目的思路去作图。（👉重构约束）

构建全等求解 （👉※全等基础 之 构建全等）

  1. 构建全等，大多因为7年级学生一直做全等题目；另一个更有逻辑的想法是：题目中出现较多的相等关系，那么全等是能把它们聚合在一起发挥作用的有效方法。（👉※ 组合，约束的核心表达方式）
  2. 构建全等，关键思路 ——基于已知、未知的相等信息进行构建。 ——①如图，红线相等，全等需要覆盖这两条红线 ——②已知相等中，还包括∠C=∠E，即图中α=β。 ——即包括红线，又包括角度，那么中间的小三角呼之欲出 ——③另，我们的目标是中间小三角，这成为这个▲被选中的第3个原因。
  3. 找到了一个三角形，另一个在哪里？ ——中间三角形，有红色线；另一个三角形也有红色线，OK ——中间三角形，有α角度；另一个三角形也需要α。在画图时，有发现∠ABD=α ——故，另一个三角形，呼之欲出，几乎糊到脸上了的呼。 ——注：如果读题画图未想到∠ABD=α，那此时为什么能想到？因为：∠E=∠C这个条件需要发挥作用，需要把这个条件和我们当前的小期望“全等”有所关联，即链接思维。（👉链接思维）
  4. 构建全等过程中，利用的便是全等的证明方法，现在有了SA，需要再加一个A或者一个S。容易得到：在BD上取一点，让长度=DE=4，即可。 ——插：如何作图找到BG=DE？①通过圆找到DG=DE；②找到BD的中点H；③找到G关于H的对称点G’，G’就是最终要找的点。 最后，得到一对全等三角形。
  5. 最后答案，ABG：底=4，高=8，面积=16 ——这里需要一点小的转化，把BDE的面积变成ABG的面积 ——这一步很简单，但不是都能顺畅完成。（👉化归思想）
  7. 附注：以上辅助线AG，来自于一步一步推理的自然结果，水到渠成。 即我们是现有解题思路，才有辅助线；而非相反，先不管三七二十一画一条件，再去找思路。 前者，能让解题思维走到一个很高的高度；后者，只能让解题能力维持在90分这个天花板，且长期看对一个人的思维能力训练起到桎梏的反作用。（👉※辅助线原则）

另一种构建全等求解方法

  1. 目标三角形中，有一个含有相等信息的角度，有一个含有相等信息的边，有一个已知长度=4的边DE。那么，以DE作底去思考面积。
  2. 进而，得到一对全等三角形，问题的解 高BI=8，故面积=4×8÷2=16
  4. 书上给的参考答案是第1个方法，但似乎第2个方法更简洁一些。

解题复盘

  1. 这是一道中等略偏上难度的题目，7年级，全等问题；很适合学生提高练习
  2. 从构建全等角度，两个方法是一致的。但又有起始思路的不同。
  3. 第1个方法，更多是基于“边相等、角相等”的信息去找全等。带有一定的发散属性，即，这样做的结论大概率有用，但本质上是不确定的。（👉正推发散）
  4. 第2个方法，更多从倒推的角度思考（👉倒推聚焦） ——既然我们找它的面积，有个边的长度是4已经知道，那么寻求它的高，是自然、朴素的倒推想法。 ——何况，这个高：①用到了底=4；②和未知面积有关；③和已知中的角度也有关联；④和相等的边也有关联。一个操作，和如此多约束信息相关，那么极大概率是我们的解题方向（👉※ 组合，约束的核心表达方式）。

附注

☆☆☆☆💯🏅👍🙇✶✷✸✹✺ 创建时间： 2026-06-26 07:11

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