※ 最值-和、平方和

本节为 Obsidian 动态视图（自动关联列表），网页版暂不展示。

👉※ 结构化，问题的多种形式

基础形式 $已知ax+by=k,求m{x}^2+n{y}^2的最小值$ 对偶形式 $已知m{x}^2+n{y}^2=k,求ax+by的最大值$ 代数变化 $已知a\sqrt{x}+b\sqrt{y}=k,求mx+ny的最小值$ $已知mx+ny=k,求a\sqrt{x}+b\sqrt{y}的最大值$ 项数变化 $已知ax+by+cz=k,求m{x}^2+n{y}^2+l{z}^2的最小值$

👉柯西不等式 ：最优方法

已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $3a^2+5b^2$ 的最小值

1. 先做关键变化 $(a+2b{)}^2=(\sqrt{3}a\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{5}b\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}{)}^2$
2. 应用柯西不等式 $(\sqrt{3}a\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{5}b\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}{)}^2\le ((\sqrt{3}a{)}^2+(\sqrt{5}b{)}^2)\cdot ((\frac{1}{\sqrt{3}}{)}^2+(\frac{2}{\sqrt{5}}{)}^2)$
3. 即 $(a+2b{)}^2\le (3a^2+5b^2)\cdot ((\frac{1}{\sqrt{3}}{)}^2+(\frac{2}{\sqrt{5}}{)}^2)$
4. 即 在 $a+2b$ 和 $3a^2+5b^2$ 建立了大小比较关系，得解

👉※ 规则化公式化，清晰的解题

关键步骤：在 $ax+by$ 与 $m{x}^2+n{y}^2$ 之间建立比较关系 实现方法：$(ax+by{)}^2=(\sqrt{m}x\cdot \frac{a}{\sqrt{m}}+\sqrt{n}y\cdot \frac{b}{\sqrt{n}}{)}^2\le ((\sqrt{m}x{)}^2+(\sqrt{n}y{)}^2)\cdot ((\frac{a}{\sqrt{m}}{)}^2+(\frac{b}{\sqrt{n}}{)}^2)$

👉※ 深入理解-底层逻辑，关于柯西不等式及应用

柯西不等式，在1次2次之间建立关系

核心关系$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2$ 如何理解

1. 不等式本身，次数平衡 ——左边 $(a^2+b^2)(x^2+y^2)$ 四次多项式 ——右边 $(ax+by{)}^2$ 四次多项式
2. 不等式本身，项数平衡 ——左边4项，右边4项 ——大部分一般不等式，都如此
3. 既然平衡，为何能建立“一次式”和“二次式”之间的比较关系？ 在 $(a^2+b^2)(x^2+y^2)$ 中，x、y的“2次”是各自独立存在 在 $(ax+by{)}^2$ 中，x、y的平方是“整体”的平方，各自是“1次” 对 $(ax+by{)}^2$ 的比较，等价于对 $ax+by$ 的比较 从而，在二次的 $(x^2+y^2)$ 和 一次的 $ax+by$ 之间建立了比较。 一个变化$(a+b)(x+y)\ge (\sqrt{ax}+\sqrt{by}{)}^2$

👉※ 系统化，典型问题的多个解法