〚新思维9.10.20〛☆☆☆🏅

题目

已知，正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N (1)如图①,当M在线段BO上时，求证：$MO=NO$ (2)如图②,当M在线段OD上，连接NE,当EN//BD时，求证：$BM=AB$ (3)如图③,当M在线段OD上，连接NE.当NE⊥EC时，求证：$A{N}^2=NC\cdot AC$ ——关联：※ 动态分析、计算证明、⫘相似-计算、同一法与反证法、复杂代数计算、数量关系分析 ——①计算证明：这道题最有学习价值的能力点之一 ——②数量关系：计算证明中，数量关系的建立，较有难度，是很好的练习 ——链接：2018 湖南常德 中考题 〚新思维9.10.20〛☆☆☆🏅

解答 - 基础分析、动态分析

1. 正方形ABCD全静态，所有内容清晰明了
2. 图形ADEH，双直角图形，仅仅有一个变化的量，即∠E，取决于M的变化
3. 两个图形交叉，产生了一些点、线段、面积

解答 - 第（1）问

根据动态分析，容易得到 角度相等；进一步两个（直角）三角形全等；得证

解答 - 第（2）问

1. 如图，全是相似的直角三角形，条件太多！
2. 借助场外信息——第（1）问的结论

解答 - 第（2）问 - 更简单的方法

解答 - 第（3）问 - 计算证明

1. 根据以下约束，计算“E点位置” $DE=DX\cdot \frac{DA}{DA-XM}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{2}-m)\cdot \frac{2}{2-\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{2}-m)}$
2. 根据以下约束，再次计算“E点位置” $CE=\frac{\sqrt{2}}{2}NC=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{2}-m)$
3. 根据以上两个信息，得到关于m的一个关键约束 DE+CE=2 $\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{2}-m)\cdot \frac{2}{2-\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{2}-m)}+\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{2}-m)=2$ 化简，得：$m^2+4\sqrt{2}m-2=0$
4. 验证目标结论 $A{N}^2=(\sqrt{2}+m{)}^2=2+2\sqrt{2}m+m^2$ $NC\cdot AC=(\sqrt{2}-m)\cdot 2\sqrt{2}=4-2\sqrt{2}m$ 根据 $m^2+4\sqrt{2}m-2=0$，以上 $A{N}^2=NC\cdot AC$，得证

注：

• 计算方法完成证明，是有效的证明方法
• 以上证明中，难点在于：理清晰约束条件 这里，核心约束有两个：①DH⊥AE；②NE⊥EC
• 建立约束关系（方程）是整个方法的难点 这里，两个约束，都可以确定“E点” ——这成为最后约束关系的直接来源
• 建立约束关系的直接工作在于：表达“E点” 分别用两个约束表达E点 这两个E点是同一个点，这便是约束关系
• 实际应用中的“约束表达” 表达E点时，使用“m=m”，相当于变相的使用了第一个⊥

附注

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