〚高思课本.5B.08.h5〛进水排水⭐⭐🏅

题目

如图所示，一个水箱上有A、B两个排水孔，两个排水孔都位于水箱侧面一条高的四等分点上．现在，以一定的速度从水箱上方向水箱内灌水．如果打开A孔、关闭B孔，那么需要26分钟能将水箱灌满；如果打开B孔、关闭A孔，那么需要30分钟能将水箱灌满．那么将两个排水孔同时打开，需要多少分钟才能将水箱灌满？ ——关联： 工程问题、数学表达、比较与对齐、抽象思维、方程思想、现实关系与逻辑关系 ——链接： 〚高思课本.5B.08.h5〛进水排水⭐⭐🏅

解答（1）-方程

求解：

1. 设，进水时间=x，排水时间=y；故：进水效率=1/x，排水效率=1/6；
2. 方程 $\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}÷(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})=26；\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}÷(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})=30$
3. 解方程 $记：÷(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})=m，有：\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}m=26；\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}m=30$ $可得：x=24，m=32$ $进一步÷(\frac{1}{24}-\frac{1}{y})=32；故\frac{1}{y}=\frac{1}{24}-\frac{1}{32}=\frac{1}{8}(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})=\frac{1}{96}$
4. 计算最后答案 $答案=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}÷(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})+\frac{1}{4}÷(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{y})$
   $=\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{2}÷(\frac{1}{32})+\frac{1}{4}÷(\frac{1}{24}-\frac{1}{96}-\frac{1}{96})$
   $=6+16+\frac{1}{4}÷\frac{1}{48}$ $=6+16+12$ $=34$

解析

1. 这是高年级或大人常见的解法
2. 使用成熟的“方程思想”，不需要太多思考
3. 但未知数设的简单粗暴，导致解方程需要一定的基本功

解答（2）-改进未知数

求解：

1. 设，全进水需要时间=4x，全“进-排”需要时间=4y；
2. 方程 $3x+y=26；x+3y=30$
3. 解方程，易得：x=6，y=8
4. 故：进水效率=1/24；排水效率=1/24-1/32=1/96
5. 后续计算一样，略

解析

1. 看起来，简单很多
2. 改进1：时间不要设为x，而是4x——避免出现分数
3. 改进2：不要关注排水时间，而是关注“进水-排水”需要的时间
4. 能使用以上未知数，来自于对问题的清晰分析 即：26分、30分时间组成中是“进”“进-排” “进”、“排”是分析问题的最小单位，但实际处理问题，可以使用“抽象的概念”，而非一成不变的真是概念——这是数学抽象思维的体现。
5. 另，题中26、30都是时间，故未知数设时间方便，设工作效率则徒增麻烦。

解答（3）-直接求解

5年级，二元方程虽然拓展内容中学到，但不够熟练。如何直接求解呢？ 求解

1. 比较26和30，可得：$1/2水箱水，“进水-排水”需要时间=“单进水”需要时间+4分钟$
2. 故，26分钟中，因为“最后1/4出现排水”增加时间位2分钟
3. 故，单独进水注满水箱时间：26-2=24分钟
4. 故，根据1/4水箱“进-排”方式需要 6+2=8分钟，可求：$排水效率=进水效率-"进-排"效率=\frac{1}{24}-\frac{1}{4}÷8=\frac{1}{96}$
5. 后续计算一样，略

解析

1. 关键点：发现是否有排水的时间差
2. 关键点：利用好这个时间差
3. 重要的数学思想，即 比较与对齐
4. 整个解题思路，来自于对逻辑关系的体会 现实关系与逻辑关系 ——解决问题，可以是：速度×时间=路程 ——但在数学中，更多是：两个路程的和差倍以及更复杂的关联

附注

1. 关于数学表达 这是本题的基础数学表达 基于抽象分析， 将数量、关联、意思、含义 用简洁的符号、字母、表格、数字 做清晰、准确的体现——表达出来 虽然，这距离解出题目还有一些事情 但是，这给求解提供了扎实、有效的基础 数学表达，是重要但又易被忽视的基础数学能力

2. 关于比较与对齐 一半的水量，单独进、有进有排相差4分钟 这个信息，对解题帮助很大。什么样的思维，让我们得到的这个信息呢？ ——信息来自于，对26分、30分两个同构信息的比较

3. 课堂参考