〚241112〛等腰直角、手拉手⭐⭐⭐💯

题目

已知：ABC、DCE是等腰直角三角形，G是DE中点，H是AE、BC交点，GH⊥AB，$S_{ABH}=18$，求：HC的长度 需要相似或共圆知识；全等-手拉手、、、〚241112〛等腰直角、手拉手⭐⭐⭐💯

解答（1）_

1. 记：HC=m；BH=2n
2. 易得： $AC=BC=m+2n$ $GC=\sqrt{n^2+(m+n{)}^2}；CE=\sqrt{2}\sqrt{n^2+(m+n{)}^2}$
3. 易得：GHC≌GBE，故 $BE=HC=m$
4. 易得：$B{E}^2+B{C}^2=C{E}^2$，故：BE⊥BC
5. 易得：$▲BHC∾▲CHA$；故：$m/(m+2n)=2n/m$；即： $4n^2+2mn-m^2=0$
6. 另：$AC\cdot BH=(m+2n)2n=4n^2+2mn=36$；故 $m^2=36$；得解

注： 第4步，可替换为： ∵∠BCE=∠BGE；故：GCEB四点共圆；故：∠EBC=90° 第3步，可替换为：$BE=\sqrt{C{E}^2-B{C}^2}=m$

【解析】方法如何想到？

第1、2步，来自于 结构化数值分析🔺

如图 图中ABC需要一个长度数据，小的BGH也需要一个长度数据 这便是一个2维的数据结构——m、n并不一定非要是边长，取决于方便 进一步，整个图形的其他数据，也基本由这2个数据决定

第3步，全等，是正推发散的结果

如图 这4个角度相等，是应该完成的基础正推工作

另，这里BE的长度，还可以通过GBE解三角得到

如图 两个直角三角形相似，故：GF、BF可求；进一步FE可求，BE可求 $MC=\frac{\sqrt{2}}{2}(m+2n)$ $MG=\frac{\sqrt{2}}{2}(m+2n)-\sqrt{2}n$ $GC=\sqrt{n^2+(m+n{)}^2}$ $BF=GB\frac{MG}{GC}=\sqrt{2}n\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(m+2n)-\sqrt{2}n}{\sqrt{n^2+(m+n{)}^2}}$ $GF=GB\frac{MC}{GC}=\sqrt{2}n\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(m+2n)}{\sqrt{n^2+(m+n{)}^2}}$ $FE=GE-GF=\sqrt{n^2+(m+n{)}^2}-\sqrt{2}n\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(m+2n)}{\sqrt{n^2+(m+n{)}^2}}$ $B{E}^2=F{E}^2+B{F}^2=m^2$ 结果一样 当然，这个方法有点累人，但不失为一个退路 更重要的，这个方法本身应用广泛

第4步，90°，是 猜想与证明 的结果

单就这个解法，这一步算神来之笔 也是有趣的地方 但 “猜想证明”是数学解题中具有广泛价值的能力 这个结果，可以由四点共圆得到 参考 〚241113〛⭐⭐⭐💯

题目

指向原始笔记的链接

此时，BE=m，可由勾股定理直接计算

第5步，关键一步来自约束思想、约束表达、三点共线

首先，看下解题中，H点，是如何使用的？ ——H是作为GH、BC的交点，使用的；相当于使用了 GH⊥AB 这个约束信息 ——但是，并没有使用（满足）H也是AE上一点这个信息 ——即：AHE，三点共线这个约束信息尚未发生作用 其次，三点共线 如何发挥作用？ ——约束表达 将三点共线，等价替换为 三角形相似 ——之所以能这么做，原因是：如果共线，那么有相似，如果有相似，那么共线；

题目的基本解题思路的建立

这是整个解题的基础

1. 【知识储备】 全等-手拉手 整体分析，看到手拉手模型，特别是附加条件的手拉手
2. 约束思想 在手拉手基础上，增加2个约束
3. 约束表达 针对计算部分，“HC长度”转化为“▲ABC中关于长度得一个约束限制”
4. 重构约束 在手拉手基础上，有2个额外约束。一是中点，二是垂直。解题中，做了一个重要转化： 本意：交点连线，垂直 转化：垂直产生的交点，三点共线 这里，转化的并不是约束本身，二是约束的表达逻辑（逆命题） 这个转化的目的，是把不好用的信息放在最后（列方程）；好用的信息，放在前面，表达数据。 故，这里还体现了 方程思想

解答（2）——面积

求解

1. 易得 ▲GHC全等▲GBE；故：BE=HC
2. 易得GCEB四点共圆；故：EB⊥BC；故BE∥AC，$S_{▲HCE}=S_{▲ABH}=18$
3. 故：$H{C}^2=36$；得解 手稿参考： 解析
4. ※ 面积传递信息（面积法） 一方面，面积，是计算的结果，基于多种计算方法，可以起到传递信息的作用；
5. 约束表达 约束的间接作用 使用面积求解问题时，“垂直”在全等的证明中发挥作用； H点是三线的交点，或者三点共线，在面积相等中发挥作用；

解答3-利用相似

AHC相似BHE 故：AC×BH=HC×BE=HC×HC 另，AC×BH=18×2