题目
如图，Rt▲ABC中，∠ACB=90°，tan∠ABC=4/3，点D在边BC的延长线上，联结AD，点E在线段AD上，∠EBD=∠DAC
（1）求证： 
(2)如图，点F在CA延长线上，DF与BE延长线交于M 
① 如果 AC=2AF，且 ▲DEC 是以DC为腰的等腰三角形，求 tan∠FDC的值；
② 如果 ，求AFd的长；
——关联：⫘相似-综合题、⫘相似-铁塔模型、※左右问题、正推发散、约束思想、结构化数值分析🔺、重构约束、※ 单元分析
——①综合难度：考验能力的扎实程度；每一步都不难，合在一起是不小的压力。不要怕，兵来将挡水来土掩，一步一步完成下去。中上学生如果失败，可能是这个原因；需要通过压轴题练习，做好心理建设。
——②左右问题：第（2）问中“等腰三角形”有机会难住中上能力学生，以及很多中等学生。注意这里有2种情况，做好应对。
——③正推发散：不仅初始阶段，而是时时进行；否则，可能不时就进入举步维艰状态
——④约束思想：主动应用已有的约束信息，特别是存在、但没有起作用的约束，常是走下去的关键。
——⑤结构化数值分析：多次用到计算，顺畅的解决需要较好的“基于数值去表达数值”的思维习惯，特别是比例关系的表达。
——⑥重构约束：有效的处理手段，不易掌握，但值得关注
——⑦单元分析：题目涉及的有一个有价值的数学思想，集中精力在局部问题上。难点在于，通过约束分析，能很好的切分问题。
——链接：上海虹口 初三 〚251208〛☆☆☆🏅
这两天格格作业上的一道题，略难一点儿
解答，第（1）问
易得： ——AA判定 故： 故： —— SAS判定
注1：
第（1）问，是帮助学生解题的，起到“提示”的作用
因此，解后面问题，一般需要留意第（1）问的结论
注2：
此题草图，如下较为理想
草图原则：不展示不必要的特征，体现明显的长短不一 
注3：
此时，需要完成如下角度的“正推发散”
若没有这些，后续解题将面临较大困难 
若没有做到这一点，一定要寻求帮助，建立这个思维方式
这个能力，不仅针对这类题，不仅针对相似
——是影响整个几何的解题，对代数类题目也有不小影响
解答，第（2）问
第一种等腰情况，DE=DC 如下所示 
正推，得：4个角度相等、一对平行线、两个等腰三角形
反推，得：求tan∠FDC，相当于求DC:FC（或AC），相当于基于AC长求DC
如图，作高DG，记：AC=4、BC=3、AB=5 
基于DBG三边比例为3:4:5，易得：DB=25/6
故：DC=x=25/6-3=7/6
故：tan∠FDC=FC/DC=6/(7/6)=36/7；得解
注1： 正推发散，时时刻刻需要的工作；没有，可能不时就进入举步维艰状态 注2： 若计算不出DB=25/6，说明：“主动应用题目信息”的思维不足 注3： 若想不到“通过AC、AB、BC去推理DC”这个策略，说明 “数值表达”的思维方式不足
解答，第（2）问
第二种等腰情况，DE=DC 如下所示 
易得：三个角度相等，ADB等腰，DC=3
故：tan∠FDC=FC/DC=(2+4)/2=2；得解
注： 需要意识到有两种情况，并勇于逐个分析处理。 ——复杂的综合题目，就是这个样子！ ——即便有的情况因为矛盾不会发生，也要分析后才知道
解答，第（3）问
- 首先，如图，做些数值推理：
基于 ，可得：
基于勾股定理，可得：
进一步，基于“面积相等”，有：
解得：x=1；
故，得到：ABD是等腰三角形，及各边长度的比例都已经知道
这里，最重要的信息是：Rt▲ADC的直角边比例=1:2，ME是中垂线 - 然后，继续分析M、F这边相关的信息，仅考虑“DCAF”部分
如图，作MI∥AD，HA⊥MI，得到一个长方形，得到一个比例1:2的▲HAI
在▲HAI中，
故：，从而 故：
故： 得解
注： “ABD是等腰三角形，及各边长度的比例都已经知道” ——这一步，属于 “重构题目” ——重新整理题目信息，以更加简洁、高效的理解去面对（后面）问题 ——即，是后面单元分析的基础 注： “仅考虑‘DCAF’部分” ——这一步，属于典型的“单元分析” ——仅仅分析有价值的、完整的单元，不考虑额外信息（干扰）
附注
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