〚金典必修1-2.2.5-t4〛☆🏅

题目

关于x的不等式$\frac{x-a}{x^2+x+1}>\frac{x-b}{x^2-x+1}$ 的解集是$$\left\{x \mid \frac{1}{2} < x < 1\right\}，求a和b

解答

解答

1. 留意到分母都大于0 👉隐含约束
2. 转化：$(x-a)(x^2+1)-(x-a)x>(x-b)(x^2+1)+(x-b)x$ 👉比较与对齐 👉中间结果不计算 整理：$(b-a)(x^2+1)-x(2x-a-b)>0$ 整理：$(b-a-2)x^2+(a+b)x+(b-a)>0$
3. 考虑到二次不等式的解为有限区间，必有：b-a-2<0 👉※ 结论也是约束信息
4. 利用韦达定理 👉※ 根与系数De三种关系 $\{\begin{array}{l}\frac{a+b}{b-a-2}=-\frac{3}{2}\\ \frac{b-a}{b-a-2}=\frac{1}{2}\end{array}$
5. 求解，得：a=4，b=2
6. 检验：b-a-2=-4<0 满足条件 👉※ 数学检验的客观原因 这里检查是必须的 ——万一不满足条件，答案需要舍去，回答：无解

变化的求解，👉※ 根与系数De三种关系

知道一元二次方程两个根 $(\frac{1}{2}、1)$，反求参数的方式

1. 利用 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}、x_1{x}_2=\frac{c}{a}$
2. 利用 $a:b:c=1:(-x_1-x_2):(x_1{x}_2)$ 道理是，以下两个方程等价（由“$x_1+x_2=-\frac{b}{a}、x_1{x}_2=\frac{c}{a}$”直接推理也可得） $a{x}^2+bx+c=0，(x-x_1)(x-x_2)=0$
3. 最原始的关联 $\{\begin{array}{l}a{x}_1^2+b{x}_1+c=0\\ a{x}_2^2+b{x}_2+c=0\end{array}$

方法没有本质差异，使用上略有差异

1. 若a=1，则第一个好用点；
2. 否则，第二个更灵活一些。 比如本题：$(b-a-2):(a+b):(b-a)=1:-\frac{3}{2}:\frac{1}{2}=2:-3:1$
3. 当两个根都很简单时，方法3比较好 但两个根复杂时，$x_1^2$、$x_2^2$会难以计算。此时用方法1、方法2比较好。

关于检验 👉※ 数学检验的客观原因

无论用哪种方式通过根求方程系数，都必须检验 并非可选，并非为了保险，而是必不可少。

比如，本题变为： 关于x的不等式$\frac{x-a}{x^2+x+1}<\frac{x-b}{x^2-x+1}$ 的解集是$$\left\{x \mid \frac{1}{2} < x < 1\right\}，求a和b 此时，整个求解过程无明显差异 仅仅，在最后一步，通过检验，发现：b=2,a=4 不符合条件，无解

为什么会“有可能无解，而必须检验”？

1. 来自于解题中的推理是“必要性”推理，而非等价的“充要性” 根据不等式的解，判断出1/2和1是方程的解，此时推理出的a、b 这仅仅是a、b需要满足的**必要条件**，并非a、b需要满足的所有条件（充分条件）。 为了保证充分性，因此需要检验。
2. 解题中对弱约束的有意处理 首先，本题中，在解二次不等式时，需要根据二次项系数的符号判断不等式的解是在两端还是中间一段；或者，将二次不等式化为二次项系数=1的不等式时，需要考虑＜、＞的符号是否需要变化。 这里的约束便是 b-a-2<0 然而，即便知道有这个约束，使用韦达定理求系数时，实际上也忽略了这个约束。 因为，弱约束在解题中被动使用，性价比更高。👉※ 被动约束与主动约束 这一点，在解“分式方程”、“根式方程”中更是被作为标准的处理。

以上几个角度，说明了“检验”是必须的。

关于：👉比较与对齐、👉中间结果不计算

将分式不等式$\frac{x-a}{x^2+x+1}>\frac{x-b}{x^2-x+1}$ 转化为一般不等式的处理，容易被认为这个计算量比较大，弄不好还算错。 实际上，如果掌握好的计算思想及基础数学能力，这类枯燥的计算也可以做的漂亮。

如下3步 这并非罗列的计算结果，而是实际的计算过程

1. $(x-a)(x^2+1)-(x-a)x>(x-b)(x^2+1)+(x-b)x$
2. $(b-a)(x^2+1)-x(2x-a-b)>0$
3. $(b-a-2)x^2+(a+b)x+(b-a)>0$

obsidian中整理时，就边打字边完成计算，就写了这3行。 这个方式，可以参考 👉※ 流水式解题，强调 忠实记录解题思维过程 窃以为，这是挺好的学习方式。毕竟，我们希望从一道理里面学到的就是这些东西，那何不把这部分体现出来、强调出来。

第1步，是最关键一步，做了什么？ 第1步，把$x^2+x+1$拆成$x^2+1$和$x$ 第1步，把$x^2-x+1$拆成$x^2+1$和$-x$ 这里，并没有直接展开，保留了$x-a$、$x-b$、$x^2+1$、$x$、$-x$这些部分 这体现了 👉中间结果不计算，即 非必要，不计算。 有点像 奥多姆剃刀法则，👉剃刀法则，如无必要，勿增实体

但，另一个疑问：为什么保留的是这些，而不是哪些？ 这是因为 $x-a$、$x-b$ 在结构上是对齐的，他们的比较（差）很简单； 这是因为 $x^2+1$ 在等式的两边都有，同样容易产生比较； 这是因为 $x$、$-x$ 出现在等式两边，也方便比较； 此为：👉比较与对齐 ——这是很简单的思想 ——但在数学中，在日常生活中，有极其广泛的应用 ——本身简单，难在用好

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

\frac{x-a}{x^{2}+x+1}>\frac{x-b}{x^{2}-x+1}，解集\left\{x \mid \frac{1}{2} < x < 1\right\}$$$$a=\_\_\_\_\_\_，b=\_\_\_\_\_\_