不定方程的整数解

是什么

一个问题有多个可能解，一个方程有多个变化的量 常见情况：数论问题 求整数解、竞赛类型应用题 常用方法：整除 分析、📝因式分解 难点：表达出要分析的内容，即构建抽象的数学题，然后还要完成分析 整体思想：必要与充分 必要条件限制范围、充分条件验证答案

※ 规则化公式化 - 不定问题解题思想

两大步

1. 必要条件 答案不减少 首先实现价值：缩小范围，约束性越强，价值越高 同时保证：因为“必要”性，缩小但又不会漏掉答案
2. 充分条件 答案不增加 确保满足条件，检验答案，不让似是而非的答案混进来 其中第一步是难点

• 比如整除手段，需要以下工作
  1. 约束表达，比如 $a=\frac{6+b}{b-1}$ ——并非所有题目够给出明显的约束，这一步也未必很简单 ——比如 〚CMO-2024.3〛☆☆👍
  2. 同余分解，比如 $a=\frac{6+b}{b-1}=1+\frac{7}{b-1}$ ——相当于 假分数→带分数，参考 ※ 分式分解
  3. 整除分析，比如 “b-1是7的所有约数”，比如“m+3是4的倍数”等 ——至此，方找到“必要条件”
• 另一个手段是 📝因式分解、质因数分解

示例

三边关系问题中，分析约束，检验结果

题目

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质因数分解、质数性质 提供必要条件

题目

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不定方程解题思路

1. 隐含约束，带来的是必要条件：必须满足 依靠这些条件，大大缩小答案范围 现实中，很难完美的找到所有的隐含条件 我们也不需要全部找到 比如，本题，找到p、q、r必然满足“两个的和=5、21、26”就足以筛掉很多答案，大大缩小范围（仅有3个可能）
2. 在可能的答案中，逐个检查 这个检查，就是充分性检查 简单说：就是代入原题，看是否满足

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整除解法

方法解析

• 不定方程常有个隐含条件“整除”，解法相当于让隐含约束发挥作用——这是关键思想
• 同余分解这一步，是个小难点。示例中，相当于做“分式除法”
• 整除分析这一步，需要用到倍数、约数相关知识
• 方法的最后，体现为：根据约数、倍数，把结果限定在有限几个答案

1. 体现整除、体现必要性和充分性条件

   题目

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   不定问题 之 整除分析

   1. 整数表达是关键一步 这里 $x+y+z=\frac{95-(2y+3z)}{5}$ 奠定了后续 整除 分析的内容，抽象出了一个清晰的数学问题：即 y和z 满足 什么条件，才可以让右边为整数
   2. 整数表达的多样性 - 还有其他方法 比如 $x=\frac{95-(7y+8z)}{5}$ 比如 $y=\frac{95-(5x+8y)}{7}$
   3. 假分数→带分数，是整除分析重要的一步 即 $x+y+z=\frac{95-(2y+3z)}{5}=19-\frac{2y+3z}{5}$

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   不定问题 之 必要条件、充分条件

   1. 解题中，要求 $2y+3z=0、5、10、15、...$ 这是必要条件 ——必须要满足的条件
   2. 但，仅仅满足 $2y+3z=0、5、10、15、...$ 未必是想要的答案 还需要：找到实际的x、y、z，以验证的确可以得到想要的结果 这是充分验证，确保无误

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2. 题目

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   整体 不定方程解题思想

   1. 找到13×27这个约束，大大缩小了可选范围
   2. 针对所有可能解，需要检验是否是“39×(a+b+c+d)”的倍数 这里，有个细节：仅需要检查 （a+b+c+d）这个数里面除9之外的因数”即可

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因式分解方法

1. 将约束关系表达为：$A\times B=20$
2. 则A、B的范围为20的所有约数 注：

• 这个方法过程简洁，但分解这一步未必顺畅

必要条件：因子组合

题目

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参考问题

〚AMC8-c19-e10〛不定问题

归属：不定方程的整数解、特殊运算符、 ——非常规问题，考验分析能力、知识掌握的扎实与否 年级：6年级+

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