📝因式分解④双十字

是什么

关联与解读

本节为 Obsidian 动态视图（自动关联列表），网页版暂不展示。

【〇】简述

1. 是什么 双十字类型的因式分解，形如 $x^2-2xy-3y^2+2x+10y-8$ 这类因式分解，你可能会，但是否熟练、扎实、顺畅？ 这类因式分解，如果不了解细节，还有可能做错… … 这类因式分解， 首先，是基础十字相乘的加深、巩固； 其次，关联交叉更多其他的数学知识和基础能力； 提高阶段第一个需要掌握的方法，难度中等偏上一点。

2. 主要内容 ①基础三个解法 〚251005〛双十字☆☆☆🏅 ②存在性 〚251011〛双十字分解的存在性✶✶🏅 ③分解与检查的讨论 〚一课一练.7A.8-24〛⭐🏅 ④巩固练习 〚新思维8-3-7〛选择题的3个解法🏅 ⑤反求参数 〚尖7-整式-9.4.e〛✶✶✶🙇 ⑥多十字 〚250926〛因式分解 ⑦综合含习题 📝因式分解④双十字

3. 学习说明 大部分学生只看①、⑤篇即可：基础的三个解法+反求参数 关于选择题的解法④，是务实的内容，值得大部分学生一看 依然学有余力， ——其他内容②、③、⑥、⑦可以泛读（大部分，泛读也没必要） ——这些内容精读，仅个别（1%）学生建议去做

4. 关联：※ 规则化公式化

5. 关联：分步思想

   分步简介

   跨一河，太宽，过不去；垫一石头，分两步，就过去了！ 分步，起到简化的作用，是简化思维的具体体现 分步，在数学中、生活中应用广泛。数学中应用，比如 鸡兔同笼、数阵图、最值·差大积小🆗、📝因式分解④双十字、及大量实际题目中。 分步，一个简单思维方式，一层窗户纸；捅开，豁然开朗。

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【一】双十字，学什么？

1. 双十字的底层逻辑 类似于普通十字相乘，双十字本身是“3项×3项”的结构，即：$(ax+by+cz)\times (dx+ey+fz)$ $=ab{x}^2+(ae+bd)xy+be{y}^2+(af+cd)xz+(bf+ce)yz+cf{z}^2$ 注：以上可以z=1，变成常数项 理论上“3项×3项=9项”，但由于结构相同带来合并同类相，结果只有6项 基于6项乘积的反向计算，便是双十字相乘
2. 双十字的数值结构 以上模型中，实际包含三个普通十字相乘 $(ax+by)\times (dx+ey)=(ab)x^2+(ae+bd)xy+(be)y^2$ $(ax+cz)\times (dx+fz)=(ab)x^2+(af+cd)xz+(cf)z^2$ $(by+cz)\times (ey+fz)=(be)y^2+(bf+ce)yz+(cf)z^2$
3. 三种分解方法🔺 ①分步分解；②同时分解；③主元参数分解； 三个方法各具价值，平分秋色 把重复解题的时间转移到这里，是更高效的学习。
4. 细节：计算2个十字，检查第3个十字 三个不同方法，背后实质，都是通过2个十字计算系数，然后通过第3个十字做检查 如果，考虑题目可能无法分解的情况，则第3个十字，必须检查。这是逻辑要求。 如果，前2个十字中，第2个十字出现系数相等或相反，必须检查。逻辑要求。 没有以上情况，检查仅仅是为了检查计算是否正确，逻辑没有问题。
5. 性质：双十字分解的存在性 十字相乘，若不考虑数的范围（有理数、实数、虚数），总是可以分解； 但双十字，存在“内在约束”，会因为逻辑矛盾而出现无法分解
6. 拓展：根据存在性，反求系数
7. 拓展：结构化拓展，“4项×4项”等多十字相乘 即：x、y、z、c（常数项）组成的十字相乘问题

（二）基础：双十字的三种解法

1. 方法讲解

   题目

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2. 进一步体会：为什么要检查第3个十字？

   题目

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3. 何时需要检查，以及如何避免检查

   通过这个问题，我们进一步理解“双十字”。 在此之前，假定我们拥有了以下基础 ——能分解基础的双十字多项式 ——理解双十字分解过程的实质：用2个十字做计算，第3个十字用来检查 如果不明白以上两点，则先放一放此题，把 〚251005〛双十字☆☆☆🏅 过一遍 此题的主要目的是： ——最后一步检查是否必须？ ——逻辑检查和计算检查的不同？ ——如何调整计算顺序，改进对检查的需求？ ——顺便，进一步巩固扎实对十字相乘具体分解的掌握 ——同时，还体现到强弱约束、处理顺序等底层数学能力

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   题目

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   （三）拓展：存在性与反求参数
4. 存在性分析 （反求参数的理论基础）

   双十字相乘，形如$x^2-xy-2y^2+x+5y-2$，并非总是能（因式）分解。 本篇，尝试从多个角度解释这个问题。 ——注：这是一个“自由而无用”的思考，一般考试不会考这个 ——注：这又是一个真的想建立数学思维的人需要完成的思考。只有类似的思考，才能让感受到数学是什么、以及感受到如何学数学。

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   题目

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5. 反求参数（注：存在多解的可能性）

   题目

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待补：何时2个解，何时1个解 6. 反求参数

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7. 反求参数

题目

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（四）拓展：多十字相乘 8.

题目

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（五）练习：更多练习、巩固练习、扎实练习 9.

题目

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10.

题目

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（六）补充：不足项时，可有更多解法 11.

题目

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12.

题目

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13.

题目

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$6x^2+5xy+y^2-3x-9$

既可以双十字，也可以拆项 〚初奥·因式分解-4.4.11〛⭐💯

因式分解：$x^2-y^2+2x+6y-8$ 因式分解：$x^2-y^2-3z^2-2xz+4yz$ 关联：📝因式分解 ——双十字，或拆项分组 年级：7年级

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（七）双十字，可以解更多问题

题目

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