综述
参考资料
《尖子生夺冠》 《市北》 《举一反三》
当看到计算面积，想到什么？
头脑中有几个方向储备？
- 直接计算
- 公式计算
- 割补后公式计算
- 特别的，格点图形面积计算
- 间接计算
- 通过“比例关系”间接计算 ——圆方比例、等底同高、鸟头模型、沙漏模型、蝴蝶模型、风筝模型
- 通过“加减组合”间接计算
- 减法 ——最简单的 A=B-C，或者，A=B+C-D-E-F ——复杂一点 A=B-C，但B、C又需要进一步应用某些方法 —— 特别的，旋转问题的清晰结论等
- 加法——即：分割
- 特殊，通过“容斥关系”计算
- 特殊，通过“差不变思想”计算
重要的基础能力
- 结构化数值分析 （比例、加减）
- 等底同高的熟练应用
- 常用结论储备（圆方比例、多个模型、冲刺分析、差不变思想、旋转面积）
- 各个方法的组合应用、叠加应用
一般练习
如图，求阴影部分面积
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形 ——可以割补，严谨的割补需要确认“严丝合缝” ——作为练习，这道题也可以直接求解 年级：6年级
如图，长方形的宽是8厘米，求阴影部分的面积。
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形 ——不错的基础加减练习 年级：6年级
〚市北6-4.5(2)-t5〛⭐题目
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ABC为等腰直角三角形，D是AB的中点，AB=20厘米，分别以A、B为圆心作弧GD、HD,求图中阴影部分的面积.
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形 ——一个小难点，是求三角形面积 ——重复：〚举一反三6·20-e1〛重复 年级：6年级
方法：构建和差
能力点
- 通过加减组合计算面积，是常用、有效的方法
- 此方法，并不会因为简单而自然掌握的很好。需认真练习，体会以下细节：
- 构建被减数，就是简单的寻求包含目标的图形；减数，自然就是差异部分
- 构建被减数、减数，有不止一个方案可选
- 建立递归迭代思想，即：被减数、减数也未必直接计算，也需再套用方法
- 即：这里可以练习到 构造思想、迭代思想 这2个基础能力
〚市北6-4.5(2)-t2〛⭐如图，求阴影部分面积？
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形 ——基础练习题，构建加减组合 年级：6年级
〚尖6·圆扇形-14.1.3〛⭐💯如图，求阴影部分面积？
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形 ——很好的一道基础练习题 ——熟悉加减组合
〚市北6-4.5(2)-t4〛改⭐⭐⭐两个紧靠在一起的正方形，小正方形边长12厘米，大正方形边长15厘米。求图中阴影部分的面积(π取3)？
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形、结构化数值分析🔺、特征思想 ——有2个截然不同的解题方法 ——题目难度中等，很好的一道练习题 年级：6年级
题目
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题目
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题目
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题目
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知识：圆方比例
知识点：若，园中有个方形，或方形中有个圆形，则它们的面积有固定的比例关系 ——具体是什么，自行推理 ——背后道理是：圆与方，长度有明确关联，故面积有明确关联
如图，已知正方形面积是30平方厘米，求阴影面积
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形、※信息桥梁 ——关联圆方比例 ——或利用对角线作为面积的链接桥梁 年级：6年级
〚尖6·圆扇形-12.e〛⭐⭐题目
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〚2025.04.10〛⭐⭐⭐🏅题目
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题目
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知识：勾股定理
〚尖6·圆扇形-6.1.1〛⭐⭐💯如图，AB与CD是两条互相垂直的直径，圆O的半径为15厘米，AEB是以C为圆心，AC为半径的圆弧，求阴影部分的面积.
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形 ——简单的勾股定理应用练习 年级：6年级
〚尖6·圆扇形-6.4.e〛⭐⭐💯题目
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题目
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知识：容斥关系
〚市北6-4.5(1)-e3〛⭐指向原始笔记的链接
归属：圆与扇形、※差值思想、结构化数值分析🔺、容斥原理 ——重复 〚尖6·圆扇形-13.2.1〛⭐💯 ——题目不难，但思路特别典型 ——起重要作用的有：差值、结构化分析、容斥、正推 年级：6年级
〚尖6·圆扇形-13.1.1〛⭐⭐⭐如图，正方形的边长是10厘米，那么阴影部分面积是多少？
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形 ——基础的加减练习，迭代一次 ——重复：〚举一反三6·20-3.1〛重复 年级：6年级
〚尖6·圆扇形-13.2.2〛⭐👍题目
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题目
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思想：二次比例
知识点
- 若，形状一样；
- 则，；同时，
- ——请从面积、体积的概念定义及计算方法中寻求原因
两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆的周长是小圆的周长的倍，求小圆的面积. 归属：圆与扇形 ——基础练习，需要做到“一眼会” ——且方法地道，注意2个点：比例关系、比例份数法 年级：6年级
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有5块圆形的花圃，它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米，请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班级管理，使这两个班级管理的面积尽可能接近. 归属：圆与扇形 ——基础应用练习 ——需要：一眼会、思路简洁清晰 年级：6年级
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如图是三个半圆构成的图形，其中小圆直径为8，中圆直径为12，则阴影部分面积与最大半圆面积之比是多少?
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形 ——基础应用练习 ——需要做到：一眼会，且思路简洁清晰 年级：6年级
题目
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〚市北6-4.5(2)-e8〛题目
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〚尖6·圆扇形-13.1.e〛⭐如图，一个大正方形各边都被四等分，分成十六个小正方形，图A是一个圆，图B是由三个半圆围成的图形，那么图A与图B周长的大小关系是？图A与图B面积的大小关系是？
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形、※ 深入理解-底层逻辑 ——利用面积、长度比例关系 ——参考答案直接计算，学习价值很小，仅普通计算练习 ——底层逻辑：面积相等，圆周长最小 年级：6年级
〚尖6·圆扇形-5.e〛⭐⭐💯题目
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题目
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思想：差不变
知识点 ※差不变，想想减法计算，什么情况差不变？ ——差不变，可以让这类问题变简单 ——但并非必然，使用 结构化数值分析🔺 依然可以解决此类问题
等腰Rt△ABC腰长为10厘米，甲、乙两部分的面积相等，求扇形AEF所在圆的面积.
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形 ——简单题目，供熟悉差不变思路 年级：6年级
〚市北6-4.5(2)-e6〛⭐如图，∠AOB=90°，C为弧AB的中点，已知阴影甲的面积为16平方厘米，求阴影乙的面积
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形、※差不变 ——关联差不变原理，同时需要做一点小的面积比例分析 ——无需计算。参考答案计算方法，让应有的逻辑黯然失色。 年级：6年级
〚尖6·圆扇形-7.1〛改⭐⭐图中△ABC是直角三角形，阴影(1)的面积比阴影(2)的面积小23平方米，求BC的长度是多少米.
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形、※差不变 年级：6年级
〚尖6·圆扇形-7.3〛⭐⭐⭐题目
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题目
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思想：面积传递信息
〚尖6·圆扇形-14.2.e〛⭐⭐⭐如图所示，在一个直角三角形中，剪掉一个最大的半圆，使得半圆的直径在斜边AB上.已知AC长210厘米，BC长280厘米.求图中阴影部分的面积(π取3.14).
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形、※ 面积传递信息（面积法） ——其实主要考验 面积传递信息 的应用。只这一个难点。 年级：6年级
如图所示，一个平行四边形内有一个内切圆，已知两条对角线把这个圆四等分，两条对角线的长度分别是6厘米和8厘米，求阴影部分的面积(π取3).
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形、※ 面积传递信息（面积法） ——四等分，有什么价值？ ——这个题有超纲的地方，需要“圆”的知识，即：切线与半径垂直
题型：活动面积-渐开线-乘法分配律
〚尖6·圆扇形-8.2〛改⭐题目
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题目
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题型：旋转面积
能力点 结构化数值分析🔺 的方法，学会通过代数分析去做加减组合 知识点 （待验证）面积=最大扇形-最小扇形 ——在 〚市北6-4.5(1)-t2〛⭐⭐💯 中不成立，WHY？ ——Maybe：仅适用于最高点、最低点是单调变化的情况 能力点 题目可能用到“和相等、差不变”等思维方式
直径AB为3厘米的半圆以A点为圆心逆时针旋转60°，试AB到达AC位置，求阴影部分面积
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形 ——典型的旋转面积问题 年级：6年级
〚市北6-4.5(1)-t2〛⭐⭐💯题目
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〚尖6·圆扇形-11.1〛⭐⭐⭐如图，△ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度为1米。现在以C点为圆心，把△ABC顺时针旋转90°，求AB边在旋转时所扫过的面积？
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形 ——旋转问题练习，多一个难点：找出旋转的图形 年级：6年级
〚尖6·圆扇形-11.2〛⭐⭐题目
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题目
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题型：滚动问题
关注点：结论、方法、底层逻辑、基础能力
参考问题
两枚如图放置的同样大小的硬币，其中一枚固定,另一枚沿其圆周滚动。 (1)当滚动的硬币滚过固定硬币的一圈回到起点的位置时，那么滚动的硬币自转了多少周？ (2)小思同学在完成第(1)小题后，有一个想法：如果两个圆的大小不同，且固定圆半径是滚动圆半径的7倍。当滚动圆滚过固定圆的一圈回到起点的位置时，那么滚动圆自转了多少周？ (3)老师又提出了一种情况，如果两个圆的大小不同，且固定圆半径是滚动圆半径的11倍，当滚动圆在固定圆内部滚过一圈回到起点的位置时，那么滚动圆自转了多少周？
指向原始笔记的链接归属：圆与扇形 ——重复 〚市北6-4.1-t5〛 年级：6年级
类似问题
〚新思路6A4-8-6〛题目
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题目
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附加题目
说明
这类题目中，基于圆和扇形面积；但题目的难点，并不在于圆和扇形 当学有余力的情况下，借助这些题目，锻炼基础的数学能力
关于 约束思想
题目
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环形面积
题目
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底层逻辑-半径相等
题目
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面积综合
体现对面积计算的综合理解 ——特别是“方形面积、圆形面积”之间的差异，一个不含$\pi$,一个含$\pi$ ——自由而无用的知识点
题目
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