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约束思想

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清晰的罗列约束、分析约束，是边长约束问题的核心思想

题目

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“增根”“减根”背后是约束在增减

题目

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游戏问题中，“规则”对“进展”的约束限制

〚高思课本.4A.10.e1〛改

有12枚棋子，两人轮流取，每人每次至少取1枚，最多取3枚。 （1）如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？ （2）这类题，清晰的判断方法是什么？ 归属：游戏策略、递归分析、不变量思想、确定性分析、约束思想 ——在寻求答案中，考验基础思维、思想 ——在答案之外，找到规则的方法，让我们想的更深、更远，更好的处理更多问题 年级：4年级+

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求一个“数值”，首要的思想是找约束

找：这个未知的“x”与其他数量之间的约束关系

〚AMC8-c9-e4〛数轴计算💯

题目

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学会理解题目中的“约束”

不要添加约束

学会主动应用题目中的“约束”

题目

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紧紧围绕约束，去思考问题

〚高思课本-3B.19-e4〛⭐⭐🏅

题目

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约束的处理，贯穿整个解题

对“约束”的使用非自然的能力，需要体会、练习，后天习得。

示例

![[2b8d925b6f1ecd9b1105a60c996d399.jpg|320]]
这是思考角度，有价值，能想出自己的思考角度，是好事情；

但逻辑上有瑕疵——因为把c理解成（a+b )÷3，依然能让c-d=c-d——即，分析过程并没有精准的指向目标。

一个思考建议：关注题目中数量的“约束限制”是什么？——把这个约束限制利用起来，便可得到一些约束限制“变化后的样子”或者“结合其他条件产生的新样子”——这个“新的样子”就是我们要的结果。

信息=约束关系

  • 问题由来
    • 数学问题的分析中，关于“已知、未知、结论”等有一些不同的说法，比如，信息、关系、约束、条件等
    • 表述的侧重点有所不同，但实质含义、价值几乎一致
    • 从“数学思维”的角度，需要一个常用、清晰的概念——那么，那个更好？
  • 分析
    • “信息”
      • 生活中，用的很多，概念通俗但也宽泛
      • 但学生并不容易把握数学题目中的已知、知识中的结论都是信息
        • 这，需要对“信息”有多了解、体会
        • 这，需要对“数学中的已知、未知、关系、约束、条件”有所体会
        • 这些，都不容易
    • “关系”
      • 优点
        • 特别容易促进思考
          • “寻找关系”很容易明白要做什么； 关系，容易想象成“方程”
          • 寻找约束，很多学生，可能不明白
        • 带有“抽象化”的要求
          • 清晰的表达一个关系，可能是要“=”
          • 而“约束、信息、条件”，可能是“=”，也可能是一句话，自然语言
          • 显然，前者比后者更有利于数学问题的分析
      • 难点：对于明显的“信息”，变成“关系”，需要一点抽象
        • 但，这是必须的过程
        • 因此，更像一个难点，而非缺点
    • “约束”
      • 理论上，是非常好的一个概念
        • 一是，涵盖信息、关系、条件等含义
        • 一是，体现信息、关系、条件的价值
          • 即：数量之间的相互影响、限制
          • 即：对象（点、线、面、物体、人）之间的影响、限制
      • 现实中，约束这个说法有点“专业”，不容易被低年级学生接受
    • “条件”
      • 数学学习中，最熟悉的一个说法：题目给的条件是什么
      • 条件，这个概念，有所局限
        • 一般理解为显式给出的信息
        • 不涵盖隐含的简单推理结论、整体分析的结论
        • 不涵盖抽象模型的结论
  • 结论
    • “约束关系”，可能是综合下来，比较好的一个说法
      • 内涵准确
      • 实用价值高
      • 适合具体讨论
    • “信息思维”
      • 适合作为“思维”的名字，需要更宽泛、自然一点

信息思维

信息处理、条件处理、已知、未知处理

约束表达 是常用、高效的信息处理使用方法

信息挖掘

自约束关系

			等比求和问题中的自我约束
			循环小数转化中的自我约束
			高次数列求和中的自我约束
			示例
				《一道〚分式方程〛的解题练习【消元思想】【自约束信息】》
				〚三项三次排序不等式〛证明中的【自约束】.pdf
		确定性分析、动态分析思想
			这是约束分析的另一面，较“高级”的约束分析方法
			几何问题的“约束翻译”（先找到，再翻译）
				〚新思路27.1-例3〛等腰三角形，外接圆半径【3个逻辑关系】【约束翻译】【算两次】.pdf
			《新思维8年级》全等三角形

隐藏的物理信息

			从物理复杂的问题中，寻找“相等”等隐藏的关系
			面积传递信息（算两次）

隐藏的逻辑信息

			数字谜中的信息
				《精讲与测试》4-14 数谜问题
				《精讲与测试》4-12 数阵图
			规律性约束信息
				一类问题
				具体维妮塔
			应用问题中的【隐藏约束】
				〚尖·根式4.14.1〛⭐⭐综合分析【隐藏约束】【不变量】
			一般隐藏约束
			规律计数问题中隐藏信息
				〚ML2024-G56-5〛规律计数问题——数学学习
			反转问题中的隐藏关系
				〚ML2024-G56-9〛翻转问题——【隐含约束】【物理简化】

约束思想

信息迭代

未知与约束

		问题的数值维度
			模型维度
				《数列〚AMC8-23-2求数列〛等差数列的【数值维度】》
			题目维度
			线、平面、空间有它的维度；一个数学题目，也有维度
		列方程方法
		逻辑难题列方程，参考《信息思维·确定性分析、动态分析》
		关系求值，在求值问题中“找关系”
			1，直接的大小多少关系
			2，已知、未知满足某个某些约束条件（方程）
	弱约束
		不定方程
			《高思课本6A-7》
	从【信息、未知】角度，对问题的整体认知
信息的分类

信息思维/约束叠加

关系图谱

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