简介

两个数“和”一定，它们的“积”何时最大？简洁的结论：“差大积小” 小学高年级即有机会接触的最值问题，最值问题的启蒙问题的来龙去脉，其推理、其延申、其应用，丰富多彩 ——我们常常醉心于结论，对推理过程避而远之 ——然，其之所以如此的分析、讨论，蕴含有更广泛应用价值的解题思想

（〇）问题示例

（一）具象思维 - 做差比较

方法说明

比较一个具体的案例： “13×3与12×4”
通过这个比较，找到一些结论、启发，以期进一步解决

比较方法

从“13×3”到“13×4”，增加了一个13
从“13×4”到“12×4”，减少了一个4
所以，从“13×3”到“12×4”增的多，减的少故后者更大即：13×3<12×4

方法解读

方法的核心是增加了一个“桥梁”：13×4 a=13×3 b=12×4 c=13×4 这里a、b两个乘数都不相同但，a、c只有一个乘数不同，b、c也只有一个乘数不同即：通过“a中取一个乘数，b中取一个乘数”得到c
比较 “13×3与12×4”本质是一个二维问题，二次问题 ——即乘积xy，x和y都发生了变化 ——一个变大，一个变小，同时两个变化，不容易比较
“桥梁（c=13×4）”的意义在于简化将二维二次问题，简化为一元一次问题比较“a=13×3”“c=13×4”就简单，只比较一个乘数即可比较“b=12×4”“c=13×4”也简单，比较另一个乘数即可
桥梁简化作用，其背后道理：分步思想
分步简介

跨一河，太宽，过不去；垫一石头，分两步，就过去了！分步，起到简化的作用，是简化思维的具体体现分步，在数学中、生活中应用广泛。数学中应用，比如鸡兔同笼、数阵图、最值·差大积小🆗、📝因式分解④双十字、及大量实际题目中。分步，一个简单思维方式，一层窗户纸；捅开，豁然开朗。
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学习练习

听懂是一回事，自己会是另一回事
完成练习，比较：A=182×447与B=184×445
- 思考：如何定义桥梁C？有几种定义方法？ ——C=182×445 ——C=447×184
- 思考：这不是就是一个常见的巧算
- 比较
延申，把求差理解成综合计算
B-A =184×445-182×447 =184×(447-2)-(184-2)×447 只有184、447，容易比较 =184×447-184×2-184×447+447×2 =(447-184)×2
- 注：以上步骤，还可以如下方式完成
  - 184×445-182×447=(182+2)×(447-2)-182×447
  - 184×445-182×447=184×445-(184-2)×(445+2)
  - 184×445-182×447=(182+2)×445-182×(445+2)

从具象到抽象

比较了“13×3与12×4”之后，有什么结论？
如果比较“m×n”与“(m-1)×(n+1)”，会如何？
乘积不断变大，最后会如何？
是否能组织一个严谨的说理？

学生学什么？

意义不止于找答案而是，找答案过程中的底层逻辑、思维方式、更通用的方法策略比如分步思想、桥梁的价值等
※信息桥梁
简介

桥梁，连接两个不容易走通的点数学题中，也存在这样一些辅助的对象 ——它们不是已知，不是未知；但它们可以帮助在已知和未知之间建立关联 ——甚至，已知未知都没它们重要，整个解题，围绕辅助的桥梁转
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感受抽象思维与具象思维
简介

具象，具体的、活生生的，比如：“2个苹果+3个苹果” 具象，具体的案例 ——比如：之于 $ab \leq (\frac{a + b}{2})^{2}$ ，则 $3 \times 7 \leq \frac{3 + 7}{2} \times \frac{3 + 7}{2}$ 是具体的形象具象，是启蒙，在幼儿园是启蒙；在中学大学，面对难题依然是具象的核心价值：回去，回归抽象
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（二）形象思维，数形结合

方法如下

将不同的乘积，都理解成面积，比较面积变化
如下，分析面积变化，易得想要的结论

方法解读

这个比较，简洁、清晰、易懂；数形结合总是有这样的优势
简介

数，代数；形，几何；解析几何是“几何→代数”；数形结合，更关注把代数问题回归几何问题数形结合，是化归思想 > 逻辑同构的体现数形结合，是形象思维的体现数形结合，是模式思想的体现数形结合，并非一个方法，而是一个问题拥有两大类方法的思想
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这个方法，后续需对“取长补短”的幅度做精准分析 ——这需要一定的精力付出，暂略

（三）链接思想，直接关联比较

问题

比较：A=182×447与B=184×445 方法 - 直接在A中构造B，使得A、B产生“方便比较”的关系
$A = 182 \times 447 = (184 - 2) (445 + 2)$ $= 184 \times 445 - 2 \times 445 + 2 \times 184 - 2 \times 2$ $= B - 2 \times (445 - 184 + 2)$
故，只要：445-184+2>0，B就比A大 条件的解读
这里，445-184+2>0 如何解读的更清晰？是个小难题
做如下变化 $445 - 184 + 2 > 0$ $447 - 184 > 0$ $447 - 182 > 2$
这里：$447-182>2$ 是一个关键条件 ——447-182代表两个数的差 ——2，代表移多补少的幅度（从大的数里面移动2到小的数里面）
故解读为：“移动的数量<两数的差”其乘积就会变大 方法说明

方法中的模式思想将A=182×447与B=184×445理解为：从447中取2给182，从而447变成445，182变成184 这是一个理解问题的角度——即：模式
关键条件 $447 - 182 > 2$ 的形象解读

（四）代数方法，构建桥梁——半值

方法如下

比如 A=182×447与B=184×445 简单分析，和相等，即：182+447=184+445=629 定义中间值：M=629÷2=314.5=M，即半值
比较 $A = 182 \times 447 = (M - 132.5) (M + 132.5) = M^{2} - 132. 5^{2}$ $B = 184 \times 445 = (M - 130.5) (M + 130.5) = M^{2} - 130. 5^{2}$
易得：B>A 且，易得，B>A的原因是：B的两个数离M更远即： 方法解读

在小学阶段，并不容易想到这个思路即便初中有个平方差，也需要对结论、对中点有所了解，才有机会想到如此分析
这个方法的价值，不在于分析问题、解决问题在于进一步分析问题，其“结论”相当漂亮
漂亮的结论 ——简介清晰的给出来A、B大小的比较 ——且，这个比较的桥梁“M”是稳定的 ——再出来一个C=187×442，也是和这个M做比较
最优解 ——更容易得到：M×M=314.5×314.5，是所有乘积中最大的 ——若限制整数，则(M-0.5)×(M+0.5)=413×315，是最大的
更多价值 ——所谓“差大积小”，这里容易看到“小”了多少？

学生学什么？

进一步丰富对问题的理解，拓展思维模式
体会“不同分析角度”有机会带来的额外的意义
经典问题学三遍，多次分析多次讨论——这是高效的学习方法

（五）差大积小，“小”了多少？

简单解析

如下 $和 = 2 n ，差 = 0 ，积 = n^{2}$ $和 = 2 n ，差 = m ，积 = (n - m /2) (n + m /2) = n^{2} - m^{2} /4$ $和 = 2 n ，差 = k ，积 = (n - k /2) (n + k /2) = n^{2} - k^{2} /4$
“小”了多少？ $若， k > m ；则，差 = \frac{k ^{2} - m ^{2}}{4} = (\frac{k}{2})^{2} - (\frac{m}{2})^{2}$ 注：这里n、m、k不必是整数注：这里 $= (\frac{k}{2})^{2} - (\frac{m}{2})^{2}$ 记为：差的一半的平方差
示例：a+b=100 如果a=40，b=60，有一个乘积如果a=45，b=55，有一个乘积那么后者乘积大大多少呢？ ——40和60，差的一半是10； ——45和55，差的一半是5； ——乘积相差： $1 0^{2} - 5^{2} = 75$ 验证 $45 \times 55 - 40 \times 60 = 2200 + 275 - 2400 = 75$ 没问题

方法解析

这个结论，完全依赖于上一段的“半值分析”
自由而无用半值分析，最初是个“自由而无用”的方法 ——最后，有了大作用这个结论本身，亦是自由而无用 ——在一些题目中，却也有体现 ——〚AMC8-2008-17〛差大积小，小多少 ——〚251003〛平方差应用✶✶💯

学什么？

分析过程，是高效的数学学习方法
结论本身，值得推理，但无需记忆

（六）差大积小

这里，给一个清晰的结论

若 a+b=c，c是个定值；则，当a=b=c/2时，ab乘积最大
进一步，a、b的差越大，乘积越小；差越小，乘积越大

注意两个关键点：

差大积小，成立的关键条件：和不变
取到最大乘积的条件：a=b

（七）结构化拓展 - 代数拓展

问题

题目
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题目
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解法

针对“3x+4y=10，求xy最大” ——不妨让a=3x，b=4y，则a+b=10 ——此时，a=b=5，ab=25，最大 ——ab=12xy，ab最大时，xy也最大，此时xy=25÷12
针对“鸡舍问题” ——问题抽象，2x+y=16，求xy最大 ——当2x=y=16÷2时，xy最大 ——即：xy=4×8=32

方法分析

这里用到的方法，虽然是基于基础的“差大积小”，但这个化归能力并不容易掌握，特别是针对小学阶段的学生。
小学高年级学生，如何处理这里问题？直接使用“做差比较”一步一步分析 $(2+2)+12=16，(3+3)+10=16”的差异，同样可以得到结论略有复杂，但可以完成

学什么

化归思想
Transclude of 化归思想#简介
附：鸡舍问题，更有趣的化归解法
代数思想
Transclude of 代数思想#简介
思想与结论
简介

解题，建立当前问题与已有知识、经验的连接方式1，利用已有的结论方式2，利用产生结论的思想前者，高效；后者，灵活。部分情况，结论不能直接利用，需要在原题中构建同样的逻辑结构，采用原始的处理思想求解。构造思想、同构思想
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（八）结构化拓展 - 对偶问题

上一段，讨论了从“a+b=定值”到“2x+3y=定值”的变化这里，进一步思考，另一个角度上的结构变化 $如果 a \times b = 定值， a + b 取值范围$ 漂亮的结论

如果和不变，那么差大积小
如果积不变，那么差小和小

示例

限定 ab=60
a=1，b=60，a+b=61
a=2，b=30，a+b=32
a=3，b=20，a+b=23
a=4，b=15，a+b=19
a=5，b=12，a+b=17
a=6，b=10，a+b=16
$a = b = 60 ， a + b = 260 最小$

应用

参考 📝因式分解③十字相乘
题目
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此类问题中有着充分的应用

（九）附：比较两个数乘积的其他方法

全值比较
- 比如 A=182×447与B=184×445
- 首先：182+447=184+445=629=S
- 有：
  - $A = 182 \times 447 = 182 \times (S - 182) = 182 S - 18 2^{2}$
  - $B = 184 \times 445 = 184 \times (S - 184) = 184 S - 18 4^{2}$
  - $B - A = 2 S - 2 \times (182 + 184)$
- 故，只要182+184比总和小，B就比A大
- 故，小的数要尽可能达到总和的一半
- 注：这不是什么好的方法，但能拓展思维，看到各种可能性
分数比较
- 比如 A=182×447与B=184×445
- 考虑到
  - $1 = \frac{182}{184} = 1 - \frac{2}{184}$
  - $1 = \frac{445}{447} = 1 - \frac{2}{447}$
- 故 $\frac{182}{184} < \frac{445}{447}$
- 故182×447<184×445
- 注：也算不得好方法，但是个有趣的知识关联，有益的理解角度

mathinkin

探索

最值·差大积小🆗

简介