📝因式分解③十字相乘

习题精选

• 因式分解 $x^2-10x-171=$
• 因式分解 $x^4-72x^2+36\times 35=$
• 已知 $x^2+ax-120$ 能分解成两个整系数一次因式的积，求a的值？
• 因式分解 $(x^2+x{)}^2-8x^2-8x+12=$
• 因式分解 $x^2+a^{2}x+2ax+2a^3=$
• 求方程 $2x^2+5xy-3y^2+20=0$的整数解
• 因式分解 $x^2-2xy-3y^2+2x+10y-8$

（一）乘法基础

1. 直接写出结果
   $(x+1)(x+2)=\_\_\_\_x^2+\_\_\_\_x+\_\_\_\_$ $(x+2)(x-3)=\_\_\_\_x^2+\_\_\_\_x+\_\_\_\_$ $(x+a)(x+b)=\_\_\_\_x^2+\_\_\_\_x+\_\_\_\_$ $(x-a)(x+b)=\_\_\_\_x^2+\_\_\_\_x+\_\_\_\_$ $(x-a)(x-b)=\_\_\_\_x^2+\_\_\_\_x+\_\_\_\_$ $(2x+3)(3x-2)=\_\_\_\_x^2+\_\_\_\_x+\_\_\_\_$ $(x+a+b)(x-a+2b)=\_\_\_\_x^2+\_\_\_\_x+\_\_\_\_$
2. 注意：是直接写出结果，不要分配律的计算步骤，心算出每一项的系数
3. 目的：感受十字相乘的乘法基础，相当于“乘法分配律+合并同类项”的跳步
4. 价值：相当于十字相乘的逻辑基础，没有这个理解，十字相乘就是套公式，就是无源之水

（二）十字相乘 = 逆向凑数

1. 凑数练习： $(\_\_\_\_x+\_\_\_\_)(\_\_\_\_x+\_\_\_\_)=x^2+4x+3$ 注：如果困难，思考上面的乘法计算如何得到的系数，反过来“凑数”即可
2. 第一次十字相乘 $x^2+5x+6=(\_\_\_\_x+\_\_\_\_)(\_\_\_\_x+\_\_\_\_)$ 注：还是“凑数”，仅仅是左右互换了——十字相乘的本质就是：凑数

（三）完成48道基础练习

1. 首先是熟练性练习，既然是计算题，练习便是必须的
2. 不止于熟练性练习，练习中不时的思考：是否有什么逻辑、规律性在里面？
3. 具体题目，附在后面

（五）逻辑分析 - 差大积小、系数组合的多样性

1. 计算个数

   题目

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2. 题目

   已知 $3x^2+ax+12$ 能分解成整数系数一次因式的积，（1）求整数a可能的最小值、最大值？（2）求符合条件的整数a的个数

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3. 题目

   已知 $x^2+5x+b$ 能分解成整数系数一次因式的积，求b的值 已知 $a{x}^2+13x+b$ 能分解成整数系数一次因式的积，求a、b

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4. 挑战题

   题目

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   （四）进阶练习，质因数分解、大数分解
5. 练习：质因数分解

   题目

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6. **质因数分解-大数十字相乘

   题目

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（六）十字相乘，认知拓展

1. 拓展I - 十字相乘，未必是整数 示例 $x^2+12.5x+6=(\_\_\_\_x+\_\_\_\_)(\_\_\_\_x+\_\_\_\_)$ 非整数十字相乘的两种处理方法

   题目

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   更多练习

   题目

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2. 拓展II 十字相乘，未必是数值 示例 $x^2+(a^2+2a)x+2a^3=(\_\_\_\_x+\_\_\_\_)(\_\_\_\_x+\_\_\_\_)$ 练习

   题目

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   来自于应用题目的“参数”十字相乘

   题目

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   根式参数

   题目

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3. 拓展III - 知识：十字相乘，未必是x（主元思想、代数思想）
   示例：使用十字相乘法，因式分解 $4xy+2x+2y+1$

   题目

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   题目

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4. 拓展IV - 双十字（独立主题） （主元思想+参数分解）

   题目

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（七）十字相乘应用

1. 尝试利用十字相乘，解方程：$x^2-5x-24=0$
2. 高一，解不等式

   题目

   不等式 $x^2-3ax+5x+2a^2-5a<0$ 有1个整数解，求k的范围

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3. 用于不定方程求解

   题目

   已知整数x,y满足方程 $2x^2+5xy-3y^2+20=0$，求x、y的值

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   Transclude of 〚新思维8-4-12〛✶✶💯#题目

4. 十字相乘计算用于除法

   题目

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5. 其他，几何题目中出现大数十字相乘

   题目

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（附）十字相乘基础练习48题

1. 熟练性练习（1）- 简单十字相乘

   题目

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2. 熟练性练习（2）- 简单十字相乘

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3. 熟练性练习（3）- 基础十字相乘

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4. 熟练性练习（4）- 基础十字相乘

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5. 熟练性练习（5）- 基础十字相乘

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6. 熟练性练习（6）- 基础十字相乘

   题目

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