📝因式分解⑤拆项

拆项，并不稀奇，我们都会

$a^{2} - b^{2} = a^{2} + ab - ab - b^{2} = a (a + b) - b (a + b) = (a - b) (a + b)$
拆项背后，是链接思维 ——如何在 $a^{2}$ 、 $b^{2}$ 之间建立联系？ —— $ab$ 与 $a^{2} 、 b^{2}$ 都有关系，是 $a^{2} 、 b^{2}$ 链接的桥梁，是不是没毛病？

基于系数分析，拆项+公因式

题目
指向原始笔记的链接

基于系数分析，拆项+立方和（多方法）

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指向原始笔记的链接

添项，建立链接

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拆项→“完全平方-平方”→平方差（常见）

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“完全平方-完全平方”→平方差

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“完全平方”→公因式

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（一）拆项，完全平方+平方差，偶次多项式

简介
- 这是最常见的拆项情况，针对形如 $□ x^{4} + □ x^{2} + □$ 的式子
- 有不同的拆项方法
  - 其一，拆0次项， $= (□ x^{4} + □ x^{2} + □) - □^{2}$
  - 其二，拆2次项， $= (□ x^{4} + □ x^{2} + □) - □ x^{2}$ （注：拆2次项，又有正负两种方法）
  - 其三，理论上，拆4次项也应该可以
- 核心都是完成配平方，但
  - 不同的拆项方法，理论上等价
  - 不同的拆项方法，实际应用需要选择，分解过程差异很大
- 有些相关的应用题目，可适当了解，以免陷入为学而学的状态
基础练习
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配平方的两个方向
题目
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配平方的三个方向，含一致性分析
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一般练习
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指向原始笔记的链接
题目
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应用练习
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（二）拆项 or 根因子，三次多项式

简介
- 拆项，三次多项式有以下几种拆项方法
  - 拆0次项： $※ = (□ x^{3} + □) + (□ x^{2} + □ x + □)$
  - 拆1次项： $※ = (□ x^{3} + □ x^{2} + □ x) + (□ x + □)$
  - 拆2次项： $※ = (□ x^{3} + □ x^{2}) + (□ x^{2} + □ x + □)$
- 拆项，基础思考步骤
  - 首先，确定一个拆项方法（这里无明确的选择依据）
  - 其次，重点考虑十字相乘的方便性，决定如何拆项
  - 最后，检查拆项后，是否有公因式
- **拆项的关键：根据十字相乘中间项，判断所需系数
- **拆项，不可取的方法
  - $※ = (□ x^{3} + □ x^{2}) + (□ x^{2} + □ x) + (□ x + □)$
  - 此方法在《尖子生》一书中竟然大量使用，是不好的处理方式，几乎是所有方法中最不可取的方法
  - 原因是：
    - 拆项，难点是拆项后的处理，一般是心算判断
    - 拆成三部分，更难以判断是否可以继续处理
- **根因子和拆项的比较
  - 根因子，稳定可靠，需要判断，判断后依然需要时间完成
  - 拆项，简洁快速，判断拆项方法略难，但判断后处理简单
  - 建议
    - ① 快速用两个方法思考一遍，哪个有突破用哪个
    - ② 若都没有进展，优先用根因子
- **三次多项式，缺项时，拆项方法灵活变化
  - 拆0次项： $※ = (□ x^{3} + □) + (□ x + □)$
  - 拆1次项： $※ = (□ x^{3} + □ x) + (□ x + □)$
  - 此时需要立方和、立方差、平方差，不再需要十字相乘
立方差+公因式
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（三）拆项 or 根因子/待定系数，4次多项式相关问题

拆项 or 待定系数，根因子失效，仅提供反向信息
题目
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根因子、拆项可用，无法确定目标格式，待定系数不好用
题目
指向原始笔记的链接

题目
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缺项情况
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（四）更多拆项，提取公因式

系数信息，立方差
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系数信息，立方和
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指向原始笔记的链接
参数特征，提供拆项方向
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拓展练习
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拓展练习
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