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比和比例

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综述

关联 抽象思维 从基础的比例概念，“利率”、“打折”、“增长”…等等统统抽象为“比例”——这是抽象思维的基础应用。

内容

  1. 首先是个“表达方式”，以及相应的解决问题的方式
    • 必须掌握，难度并不高
  2. “比例连接”问题的实质，是单位统一
    • 掌握方法容易，理解背后道理需要一些琢磨一些付出
  3. 复合比例、正反比例中，比例可直接计算的思想
  4. 最后，有一系列应用题，较有挑战性
    • 若用方程思想，则不难；但直接解题，可很好的锻炼【基础分析能力】，以及累积【思维模式】
    • 即，长期看这类题不会出现不会的情况；不关注，失去的是基础能力提升的机会。

参考资料

比例基础

〚AMC8-c9-e23〛百分比👍 〚AMC8-c9-e21~22〛百分比基础👍

基础的比例逻辑

比例/非同等数量

  • 示例：面积、体积 〚AMC8-2008-16〛比例
  • 示例：
    • 有甲、乙、丙3根木棍，甲乙长度比例为5:9，甲乙围成的长方形面积（平方厘米）与丙的长度（厘米）的比例是20:3，丙的长度比甲乙长度的和少1厘米，求丙的长度？

应用题 - 发现比例关系

〚高思课本.5B.11.h4〛（改）⭐⭐🏅

题目

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应用题 - 份数法

〚大通关6-2.1-1〛⭐⭐🏅

题目

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〚大通关6-2.1-3〛⭐⭐⭐🏅

题目

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直接应用比例解题

提高练习

〚大通关6-2.1-1〛⭐⭐🏅

题目

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“比例”在其他问题的中应用

〚2025.04.10〛⭐⭐⭐🏅

题目

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其他

〚实验班6上-6真题-9〛⭐⭐💯

甲、乙、丙三人共有 11000元，他们各买了一台相同的电视机，甲用了自己钱数的9/16，乙用了自己钱数的1/2，丙用了自己钱数的9/10，二人原来各有多少元? （云南昆明市题目）

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〚241207-1015〛和差倍-方程⭐🏅

题目

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〚241207-1746〛比例⭐📋

题目

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比例变化

〚高思课本.5A.17.e6〛比例变化⭐🏅

题目

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连比

〚高思课本.5A.17.e3〛连比⭐🏅

题目

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比例/综合练习

  1. 〚导引6.3A.6〛交叉比例

    已知甲、乙、丙三个班总人数的比为3:4:2，甲班男、女生人数的比为5:4，丙班男、女生人数的比为2:1，而且三个班所有男生和所有女生人数的比为13:14。 请问：(1)乙班男、女生人数的比是多少？ (2)如果甲班男生比乙班女生少12人,那么甲、乙、丙三个班各有多少人？

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  2. 〚精测6.7.e3〛交叉比例

    数学奥林匹克学校某次入学考试,参加的男生与女生人数之比是4:3 录取人中男生与女生人数之比是8:5. 未被录取的学生中,男生与女生人数之比是3:4, 请问，“录取男生”和“未录取男生”之间的比例关系？

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  3. 〚尖6比例·1·8·e〛比例、不定问题

    帅帅七天背了100多个英语单词，前三天所背单词量与后四天所背单词量的比是3:4，后三天所背单词量与前四所背单词量的比是5:6，帅帅第四天背了多少个单词?

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  4. 〚尖6比例·1·24·3〛比例组合

    有铜、铁、铝制成的合金A、B、C各1千克；在A、B、C中铜铁铝的质量比分别为1:2:1、2:3:3、4:3:2； 若将A、C制成一种铜铁铝质量比为4:5:3的新合金，最多可制成新合金多少千克？

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比例/数学表达

比例/基础解题思路

比例的基础应用

  • 主要工作
    • 横向，不同数量之间的转化，借助“占比”（比例关系，所占比例）
    • 纵向，不同表达之间的转化，相当于“单位换算”
  • 三个步骤—— ※ 规则化公式化
    1. 确定：各数量的“比例”
    2. 确定：共用的每一份数量（即：▲=？；即：放大倍数）
    3. 确定：各数量的“具体数值”
  • 参考

比例/比例连接

  • 清晰理解：为什么要这样连接？
    • 参考
    • 注：答案，来自于推理而非拼凑
      • 这是重要的基础数学思想
      • 常常出现，学生写了第一步写了第二步，两步之间是“割裂”的，逻辑是断开的
    • 关键操作：转换为相等
      • 同一个数量，在不同的比例中，比例数值（分数）可能不同
      • 关键操作：将同一数量，在所有比例中的比例数值，转化为相等
    • 如何理解？
      • 比例数值，代表“份数”的多少，不同比例中“1份”的大小不一样
        • 即：（虚拟）的单位不一样
        • 即：放大倍数不一样
        • 故：不能将不同单位的数值，直接放在一个比例中——除非保留单位
      • 比例数值，转化为相等的过程
        • 即：统一放大倍的过程
        • 即：统一1份大小的过程
        • 即：统一虚拟单位的过程
        • 故：比例关系中，虚拟单位可以消掉，剩下仅有数值的比例关系
      • 比例数值，就是省略了统一的虚拟单位（1份）的真实数值
  • 比例连接的另一个思路：以公共数量为“基数1”，作为桥梁
    • 其背后逻辑，也是：统一单位——统一到都能关联的数量上
    • 比如上一题
  • 两个方法的相通之处
    • 其底层逻辑，都是“统一单位”
    • 比如，方法一
      • ①、②用“▲”做单位；
      • ②、③用“□”做单位；
      • 为了放在一起，①、②、③，都换算成“☆”做单位
    • 比如，方法二
      • 都用“②”做单位
      • ——因为在两个比例里面都出现了②，故适合作为“单位”
      • ——起到了“桥梁”的作用
  • 练习题

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