约束表达

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简介

解题时，翻译已知信息，做合适的表达，是解题基础，甚至关键。 表达有“简化（简化思维）、链接（链接思维）、推理（正推发散）”等方向 约束表达，本身是处理数学问题的基础思想，体现为解题手段；但其能力来自于相关知识的扎实积累。——首先有这个意识，然后发挥、积累具体能力。

1. ↘集合初步

更多

约束表达，是数学表达的核心内容

表达，有两重含义： 1，自身看起来是什么样子，表面是什么样子 2，约束如何在分析问题中起作用，约束如何在其他命题中发挥作用

与化归思想有雷同之处

• 化归：整个题目的转化，常是题目多个要素都有所变化；
• 约束转化，具体信息、条件、问题的转化。 〚241104〛构建全等-约束转化⭐⭐⭐💯

方向

1. 简化思维——向着简单的方向转化，结构简单、逻辑简单、数值简单、处理方法简单
2. 链接思维 —— 向着有利于建立“已知、未知”的关联进行转化
3. 正推发散 —— 当无所适从，就 枚举 所有可能。若不能漂亮的解决问题，那就先解决问题。

应用“约束转化”，主要解决：什么需要转化？如何转化？

1. 求值问题的关键是“已知未知转化”，充分体现约束表达“ ——参考 知识/初中/代数/多项式/求值问题/求值问题

多种表达的情况

1. 题目

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   三次方程的根 的 约束表达

   已知约束：已知三次方程 $x^3-6x^2+11x-6=0$ 的三个根为 a、b、c 约束表达①：

   • $a^3-6a^2+11a-6=0$
   • $b^3-6b^2+11b-6=0$
   • $c^3-6c^2+11c-6=0$ 约束表达②
   • $a+b+c=-(-6)$
   • $ab+bc+ca=11$
   • $abc=-(-6)$ 约束表达③：
   • $(x-a)(x-b)(x-c)=0与x^3-6x^2+11x-6=0等价$ 约束表达④：
   • $a=1，b=2，c=3$ （基于根因子因式分解） 约束表达⑤：
   • $a=。。。$ (基于盛金公式)

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（一）翻译：语文约束 → 数学约束

这是解题的常规工作，属于 数学表达 的范畴，在阅读阶段便需要完成 影响广泛，重要的、基础的翻译转化工作

1. ※ 名词专业词约束 整数，（进一步参考 数论问题）〚新思维8-1-e1(2)〛✶✶🏅

   题目

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   顶点，（知识/初中/解析几何/二次函数/二次函数），〚新思路9-26.2(3)-12〛⭐💯

   已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点(2,-2)与(-1,-8)，求此函数解析式 归属：知识/初中/解析几何/二次函数/二次函数、约束表达、解方程思想 ——典型的基础问题 ——关键点关于顶点信息的解读 年级：9年级

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   正方形，（☆正方形），〚新思维9-6-2〛⭐⭐🏅

   如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线$y=a{x}^2+bx(a>0)$的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线$y=a{x}^2(a>0)$交于点B.若四边形ABOC是正方形，求b=？ 归属：知识/初中/解析几何/二次函数/二次函数、☆正方形、约束表达、方程思想 —— 题目解出来，感觉不难 —— 清晰顺畅的找到解题思路，需要较好的基础 —— 思路选择不好，可能题目做的麻烦 —— 不错的一道题目 年级：9年级 中考题 2018 浙江湖州

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2. 专业描述所隐含的约束 比如， 三点共线， 三点共线，是一个约束条件，也是一个难以直接使用的约束条件 故：对三点共线做等价的解读，是解题的重要一步 比如，折叠反转 比如，恒相等 比如，根因子

   题目

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比如，知识/初中/解析几何/二次函数/二次函数 自变量范围的讨论 〚初中100·50-4〛⭐🙇

当t≤x≤t+1时，求函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{5}{2}$的最小值(其中:t为常数). 关联：知识/初中/解析几何/二次函数/二次函数、约束表达、完备性 ——完备性实现的2个思路 年级：9年级

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比如，二次函数属性的翻译表达 〚新思维9-6-8〛⭐👍

四位同学在研究函数$y=x^2+bx+c$ (b,c是常数)时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现-1是方程$x^2+bx+c=0$的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4。已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( ). A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 关联：知识/初中/解析几何/二次函数/二次函数、约束表达、数理逻辑 ——条件转化+数理逻辑分析 年级：9年级 中考题 2018 杭州

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（二）翻译：语文表达 → 数学表达

〚举一反三8-10-5.1〛⭐💯

题目

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持续解读

这是一项特别难以掌握的能力，又是处理困难问题的基础能力

题目

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题目

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题目

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题目

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(三) 转化：伪数学表达的转化

看起来是数学格式，但仅仅徒有其表

1. 自然数 $\overline{abc}$ 〚240918〛⭐⭐💯

   题目

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2. 带余除法

（四）转化：退化方程→约束关系

参考 方程思想 > 退化方程 → 约束关系 - 参数思想

（四）转化：更好用的表达

动态分析中转约转化

1. 题目

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约束有不同的表达方式，选好用的那个表达方式

题目

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• 关于约束表达 每个条件，每个，都要合适的发挥作用 ——因此，如果解题陷入困境，去检查是否所有条件都有工作 约束条件发挥作用的途径并不唯一。 ——因此在做约束表达式，要多想想，找最好用的那个 约束条件发挥作用的方式有两大类 ——其一，用于逻辑推理 ——其二，用于数值计算 这里是第2种。数值计算也是逻辑推理，特殊的逻辑推理。由于太特殊，故单列一项。 两者并不严格区分，比如即便计算，多数条件是作用于推理，间接用于计算。比如OA=OB这个条件。

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复杂压轴题，推论即表达，可有更好用的方程

题目

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将约束关系，表达为角度关系

题目

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比例问题的约束表达

1. 题目

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2. 题目

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（五）重构：基于链接思维，重构数学表达

参考：链接思维 > 基于链接，重做约束表达

1. 〚举一反三8-11-3.1〛⭐⭐🏅

   设 $a+b+c=3n$, 求 $(n-a{)}^3+(n-b{)}^3+(n-c{)}^3-3(n-a)(n-b)(n-c)$ 的值. 关联：代数式-整式、链接思维、约束表达 ——可以借助公式，容易求解 ——但：这个公式未必都知道。 ——知道这个公式，对大部分学生，是很高的要求。因此这是很难的题目了吗? ——也不尽然，若对信息代入思想有较好理解，做起来一样简单干脆 年级：7年级

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2. 题目

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（六）转化：※ 参数表达

（七）体现：用约束表达，体现隐含信息

题目

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（二）难利用 → 容易利用

☆公倍数模型

Transclude of ☆公倍数模型#^58fd63

〚新思路8上-19.2(1)-8〛⭐⭐💯

Transclude of 〚新思路8上-19.2(1)-8〛⭐⭐💯#^7bc7ed

方程思想 中，列方程约束的灵活转化 〚新思维9-6-e6〛✶✶✶💯

题目

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角度，表达为线段比例 - 约束更容易计算使用 〚新思维9-6-4〛👍

二次函数$y=\sqrt{3}{x}^2$的图象如图所示，点A在y轴的正半轴上，点B,C在二次函数$y=\sqrt{3}{x}^2$的图象上.四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，求菱形OBAC的面积 归属：知识/初中/解析几何/二次函数/二次函数；关联：约束表达、、、 —— 利用好120°这个条件 年级：9年级 中考题 山东菏泽

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（三）已知未知之间的相互转化

依赖 逻辑推理，实现 条件之间的 链接 （链接思维）

面积关系，转化为线段关系——转化的方向，体现 链接思维

〚尖·三角形.3a.2.0〛⭐⭐💯

如图，在△ABC中，点P是AC上一点，取BP的中点Q，联结CQ并延长与AB交于点D， 则△ABP面积与△ACD面积的大小关系是？ 归属：三角全等、中点中线、约束表达、☆梅涅劳斯定理、面积问题、图形切割 ——有两个相似的方法，体现约束转化、链接等基础思想 ——有1个特殊的方法，适合知识、思维的拓展，体会对知识的深入理解 ——参考问题 〚2025.04.14-2〛⭐⭐⭐🏅 年级：7年级

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线段和 与 面积加减的转化

（四）体现 简化思维 思维的转化

（五）基于等价的逻辑转化

〚新思维9-14-e1〛⭐⭐💯

例1如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=$2\sqrt{2}$ ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为？ 归属：圆、最值·几何最值、约束表达、 —— 中考题 浙江宁波 年级：9年级

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约束弱化

题目中的约束有时以推论的形式发挥作用； 甚至，以和其他信息共同推理的结论来发挥作用； 隐含的发挥作用 〚241112〛等腰直角、手拉手⭐⭐⭐💯

题目

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等价思想、等价转化思维

		形式上等价——数学表达
		概念的等价
			什么是正方形
		问题的等价
			典型问题等价
				（一一对应）计数、排列组合
			常见问题等价
				12个小方块，可以摆出多少个长方体
			一般问题等价
				数论-AMC8-等差分解-【等价转化思维】
				《一课一练》7A6.30【信息带入】实现【等价转化】.pdf
		等价，是一种能力，但首先是“意识”，和所有思维一样，这是最初的难点

关联

※ 深入理解-底层逻辑 > 等价关系，常形成一类具体问题的底层逻辑

代数式-整式 > 等价思想

多项式等价

1. 三边关系 —— 判断 三角形成立，有一组相互等价的判断条件

几何题的结论常围绕关键点展开，关键点又常常是约束条件产生的交点 这个约束信息，在“语义”上是很清晰的 但是，如何使用这个约束，在数学上可能是困难的 此时，我们需要的还是“翻译”，把“自然语义”翻译成“数学表达”

〚新思路9-24.5(1)-4〛

如图，将边长为6厘米的正方形ABCD折叠，使点D落在边AB的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，求△EBG的周长？ 归属：三角相似、、、 —— 年级：年级

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