简介

形式上，内容有两种类型 其一，一篇文章 ——可能是一个数学主题、数学专题的说明 ——可能是关于思维、思想、方法的内容 ——可能是关于认知、学习的内容 这类内容，完整的形成体系，是个漫长的过程。 第一阶段，文章成形的标准：

• ①完备，结构上覆盖需要阐述的部分；
• ②有效，不少于5道精选题目（离开题目是泛泛而论，无什价值） 其二，一道题目 ——容易理解，即：题目本身，及解答 ——以及，更有价值的，关于：如何思考，为什么这样思考，如何做，为什么这样做…等等解析

内容管理原则：向上引用，向下链接

• 向上引用：低层级的内容，可以链接高层级标题+引用高层级的内容
• 向下链接：高层级内容，链接到低层级的标题，但原则上不引用内容
• 例外：题目中阐述某个思想的应用，或低层级阐述高层级的具体实现 若关联性强，质量高，则有必要作为详细示例出现在主题文章内——此时，需小心避免循环嵌套。

呈现：苹果树

• 苹果：灰→绿→红→紫
• 树干：灰→黑
• 一对一交流、评估：光圈 呈现：100个数学思想在覆盖中小学的100个数学专题的500道经典题目中的2000次应用

让数学学习有思想、有目标、有规划、有手段、有检验，高质量闭环

待完成内容

1. 〚尖·三角形3b.2.4〛☆☆☆☆🏅
2. 直线交点与结构化学习
3. CMO CMO
4. 鸡兔同笼
5. 〚奥赛经典.几何01.A6〛☆☆🏅 同构部分，需要整理
6. 〚新思维8-11-15〛⭐⭐⭐🏅
7. 〚260427〛几何解析-等腰直角
8. 〚闵行二模2024-25(3)〛☆☆☆🏅
9. 〚新思维8-11-15〛⭐⭐⭐🏅
10. 〚新思维8-13-6〛☆☆☆💯🏅
11. 〚260528〛约束的表达
12. 解题的核心逻辑、核心能力 〚260601〛🏅
13. 〚2606zt.7.b06-1〛☆☆☆🏅
14. 代数式中的特征信息
15. ※ 数学检验的客观原因
16. 〚高思课本.3A.04.h4〛周期问题两种方法【精解】🏅
17. 质数分解，问题背后的小性质

学习之前

1. 数学认知 - 漂亮的结论、难题难在了哪里？、什么决定了我们的数学能力？、会、会用、用好、一个问题的数学方法、※ 数学检验的客观原因 、数学中性价比高的事情：(习惯性）检验、（慢慢）计算、（慢慢）读题、基础的价值、这是一道好题吗？
2. 学习心理 - （对己）深一点难一点、对外，多一点、初中几何，学什么？、自由而无用
3. 解题心理 - ※ 想出来的文章，做出来的题🔺、持续的韧性、剥洋葱、※ 原生思考、尝试与笃定、思考，数学学习的唯一支点、高效路径和永恒追求、细节见功夫
4. 解题认知 - 清晰、准确、简洁、扁平与陡峭、※ 蹩脚的方法、※ 守正出奇、付出守恒、思维/解题/解题与学习/解题思想/解题三部曲
5. 学习环境 关于老师：老师价值——提升认知、提升基础能力、好老师的几点关键要求 🆗、现实中如何评价一个数学老师🆗、※ 三三原则、了解一个学生、引导与灌输✔ 、老师-学生：讲解会的题、老师-学生：一节课，三道题 ✔ 、慢一点 ✔、掰开揉碎学透一道题 老师家长：面对学生成绩不好 、学生、老师、家长 、改变一个学生的学习状态、小朋友需要的是具体的帮助 交流讨论：如何讨论、学习莫藏拙、交流的价值与弊端、学习类数学文章，怎么写 学习认知：小学初中高中，各阶段数学的特点、初中数学假期提前学方案

解题思维

解题包括什么？

综述：解题的核心逻辑、核心能力

I）整体分析（结构化、简化、转化）

• 整体处理、简化、转化、结构化、系统化 II）约束表达
• 三部分工作：①留痕阅读；②数学表达；③约束表达
• 三者之间，核心逻辑一致，不断的抽象、不断的转化；侧重点不同。 留痕阅读：侧重“语文含义→数学含义”，第一次抽象； 数学表达：侧重“数学含义→数学符号、模型”，第二次抽象 约束表达：侧重“从一个约束含义→另一个约束含义”，关注转化 III）建立连接
• 三部分工作：①正推发散；②倒推聚焦；③链接·建立关系
• 正推，发散属性，常低估正推需求，习惯不足。60%的题目，正推主导。
• 倒推，高效的聚焦解题方向，降低解题成本。20%的题目，倒推发挥大的作用。

• 链接，贯穿整个解题过程，分布在每一小步。在20%的逻辑难题中是解题的关键。 IV）解题之后

• 考试时，关注检查，以期得分；学习中，关注拓展与深入，以期理解的升华

I），整体分析

以 简化思维、化归思想 为主

1. 简化：👉诸多数学主题，实质为简化、分类思想、※树形图多层分类、分类加法、分步思想（〚导引4-2-C3〛数阵图与分步思想✶✶💯）
2. 整体 整体分析、※题目分类、重构约束、数学建模、※ 方法与思想、模式思想、化归思想、数形结合、构造思想、同构思想

II），约束表达

以抽象思维、约束思想 为主

1. 留痕阅读 - (提取原始约束）- 隐含约束 （特征思想（※ 数值问题-隐含的必要特征、※ 计算特征与巧算、代数式中的特征信息）、奇偶性分析）、※ 名词专业词约束
2. 数学表达 - 翻译，语文约束→数学约束- ※ 名词专业词约束、草图原则、※ 基于约束作图、※ 边读、边画、边推理、※ 份数方法；特别示例：🔯整数
3. 约束表达 表达方式：※ 参数表达、结构化数值分析🔺（※ 份数方法、数量关系分析） 约束分类：解题能力之特异条件表达、基础约束与方程约束、※ 被动约束与主动约束 表达思想：※ 必要条件必须表达

III）建立链接

正推发散，能力解读

1. 思想：※ 组合，约束的核心表达方式、主动正推、重构约束；
2. 方向：最简等价
3. 方式：正推，平行结论选重点、※深度优先，广度辅助🔺🆗
4. 方法：※ 特征值法-赋予特征 - 比较与对齐、※差值思想 - ※ 动态分析

倒推聚焦，能力解读

1. 推理努力的方向
2. 待整理

建立连接

第1支撑，链接的思维、思想

1. 解题思维，策略方向 👉规划逻辑路径、※向下思考，向上抽象、结果与过程
2. 解题思维，方式方法 👉结构化逻辑分析、由大及小、思考的顺序
3. 解题思维，辅助思想A 👉 ※辅助线原则、※信息桥梁、参数思想
4. 解题思维，辅助思想B 👉猜想证明、验证猜想 - 双向奔赴
5. 解题思维，辅助思想C 👉 中间结果不计算
6. 抽象思维，逻辑结构角度 👉规律性规则感、规律与边界

第2支撑，链接的方式、方法

1. 方式：几何问题路径- 几何转数值、计算证明、解析方法
2. 方式：数值问题路径A - 方程思想
3. 方式：数值问题路径B - 信息代入（代数求值问题） ——方法：求面积的核心思想与方法（组合面积）

第3支撑，链接的逻辑、知识

底层逻辑支撑解题 - 容斥原理、寻找题目的核心逻辑、逻辑归纳

IV），解题之后

1. 思想：怎么算做好一道题、学知识与做题一致（原则与要求）
2. 解题务实 - 解题的过程书写、※ 流水式解题 ✔、推理过程结构化、专题学习务实
3. 得分能力 - 逻辑检查与计算检查、选择题解法
4. 手段（知识层面、问题层面、能力层面）：结构化与系统化、 逻辑关联，有赖于：※ 系统化、※ 一题多解、方法备份 结构扎实，有赖于：※ 结构化；※ 结构化、逻辑敏感、※ 规则化公式化 理解深度：有赖于：※ 深入理解-底层逻辑 ——知识层面：数值逻辑结构；思维层面：※ 有迹可循； ——有时并不区分：形象思维 、抽象思维与具象思维、 ※返璞归真

数学需要的数学思想

I 方程思想

1. 结构化数值分析🔺
2. 基础约束与方程约束
3. 未知数选择
4. 对称问题中的未知数冗余
5. 方程中的约束守恒
6. 列方程的2种架构
7. 相关综述、列方程综述、公众号部分文章
8. 方程务实：不定方程的整数解、不变量思想（退化方程）、方程参数

II 模式思想

模式思想 - 数量模式、线角度

III 构造思想

1. ※全等基础 之 构建全等、⫘相似-构建相似
2. 寻找更多勾股数（平方差构建法）
3. 约束表达-基于特性构建可分析对象

IV 同构思想

同构示例-最小单元、同构、化归、模式，三者之间的异同、生活里的同构、牛吃草与追及问题的同构、三角形分类 - 约束等价与逻辑同构

V 几何思想

草图原则、※ 基于约束作图、※辅助线原则、※ 几何的核心能力与其魅力所在🆗、线角度、⨌线的数值维度

代数思想

变量含义唯一

VI 常见原理

※ 面积传递信息（面积法） 、多状态问题、☆公倍数模型、一一对应、 最值·差大积小🆗、… …

VII 数理逻辑

必要与充分、完备性

VIII … …

解题需要的数学知识

初等数论（5年级）

1. 整除
2. 🔯质数 “1不是质数不是合数”的进一步思考🆗 判断质数的方法 - 清晰、准确、简洁 🆗 寻找100以内的质数-规律性规则感🆗 计算方法求1000以内质数个数？
3. 质因数分解 质因数分解，两个思路背后的底层逻辑 质数概念下的平方数

周期问题

1. 规律问题 规律的组合 ——〚AMC8-c2-e21〛图形规律计数⭐⭐💯
2. 周期问题 ——〚高思课本.3A.04.h4〛周期问题两种方法【精解】🏅

II 其他

四-循环小数 4. 循环小数-加减法法则

小学几何 5. 图形切割（4-6年级） ——〚导引4.4A.1〛均分正方形 - 基础能力训练☆☆☆🏅 ——〚250726〛等腰切分⭐⭐⭐🙇 （6年级） 6. 求面积的核心思想与方法（组合面积） 小学应用题 7. 移多补少 > 模式思想 - 两种理解模式 8. 植树问题 9. 和差倍问题 和差问题-解题思路 隐藏条件的和差倍 ——〚高思课本-3B.02-e2〛☆🏅 10. 行程问题 ---- 4、5、6 行程问题 ---- 相遇追及的关键逻辑是“时间相等” 相遇和追及的底层逻辑与一致性 火车桥梁问题 多次往返、环形路线 —— 〚260317〛多次往返-思维解析☆☆☆🙇 ——〚260324原〛往返综合（挑战题）☆☆☆☆🙇 多次往返、环形路线，问题背后的思维 11. 鸡兔同笼 ----3、4、5鸡兔同笼 ---
鸡兔同笼，学什么？ ——〚高思3A.9.e1〛假设法的不同实现☆🏅 ——〚孙子算经260303-2〛多对多鸡兔问题（无隐含信息）☆☆☆🏅 鸡兔同笼-经典5题 鸡兔同笼-检测A 鸡兔同笼-检测B 鸡兔同笼，怎么学？ 12. 浓度问题 ——〚高思课本.5B.17.t4〛☆☆🏅 六-分数与比例 13. 合比的应用 14. 比例应用题 15. ※ 份数方法 六-统计 16. 手绘扇形统计图，一个特别的细节🆗

初中-代数

六-有理数 17. 绝对值问题 18. ※ 绝对值和的最小值 19. ——〚241024〛绝对值求和⭐⭐💯 20. ——〚241025〛绝对值求和⭐⭐⭐💯 六年级-方程 21. 列方程综述 ✔ 22. 〚260110〛四步列方程☆🏅✔ 七年级-等腰直角三角形 23. 〚260107〛等腰直角-求角度，多方法-多思维☆☆🙇 （精解，基础能力） （七）代数基础 24. 代数思想 变量含义唯一 25. 幂运算 26. 多项式乘法 整式乘法中的组合思想 27. 复杂代数计算 28. 平方差公式 29. 寻找更多勾股数（平方差构建法） 代数综合 30. 代数式中的特征信息 七年级-因式分解 31. 代数式-整式 - 7年级 32. 📝因式分解 - 7年级 📝因式分解①公式法 📝因式分解②分组法 📝因式分解③十字相乘 📝因式分解④双十字

主要内容 ①基础三个解法 〚251005〛双十字☆☆☆🏅 ②存在性 〚251011〛双十字分解的存在性✶✶🏅 ③分解与检查的讨论 〚一课一练.7A.8-24〛⭐🏅 ④巩固练习 〚新思维8-3-7〛选择题的3个解法🏅 ⑤反求参数 〚尖7-整式-9.4.e〛✶✶✶🙇 ⑥多十字 〚250926〛因式分解 ⑦综合含习题 📝因式分解④双十字

指向原始笔记的链接

📝因式分解⑤拆项 📝因式分解⑥换元法 📝因式分解⑦主元法 📝因式分解⑧根因子法 📝因式分解⑨待定系数 📝因式分解应用 七年级-代数式求值 ——基础思想 33. 知识/初中/代数/多项式/求值问题/求值问题 ✔ 34. ——〚新思维9.1-15〛☆☆🏅 35. ——〚新思维7.6.12〛☆☆🏅数字代换-链接转化 36. ——〚一课一练7B.13.29〛信息代入是求值的核心☆☆💯 37. ——〚260109〛代数式求值-构建思想与被动链接转化☆☆☆💯 ——专题，代数式求值 38. 求值1-标准代入 39. 求值1-一元信息 40. ※ 求值1-对称倒数 41. 求值3-三元问题 42. 求值4-退化信息 43. 求值5-分式求值 44. 求值9-韦达定理 45. 求值9-求值应用 七年级-分式 46. 多项式除法、多项式除法，是否值得深入学习？ 47. 分式 48. ※ 分式分解 49. 分式应用题 七年级-图形的运动 —— 非关键章节，无需提前学 50. 图形运动-翻折 七B-不等式 51. 不等式 不等式 -“and、or”可能的误解 52. 解不等式 53. ——〚新思路3-15.1(1)-e1〛不等式的奇怪解法 54. 参数不等式 八年级-根式 55. ※ 根式不变性与开平方 〚260106〛根式不变性🏅 56. ——〚新思路8上-16.3(2)-9〛根式估算☆☆🏅

初中-几何

I （〇）几何思想与横向主题

几何模型 98. ☆正方形 几何思想 99. 燕尾模型、燕尾模型的背后是合比 100. ☆梅涅劳斯定理 （5年级燕尾模型拓展 - 9年级综合题目） 101. ☆双直角角平分 数学专题

II （一）点线角平行垂直

7-几何基础 54. 直线交点与结构化学习 55. 角度基础 56. ※余角补角对顶角，熟悉‘数值分析’ 57. ※角度基础计算，关注‘60进制’ 58. 角度计算-平行🆗 59. 平行基础 60. 平行证明🆗 61. 角度-综合计算 - 用到全等、相似、圆，等复杂的角度计算问题 七B-三角-边长约束 62. 三角形分类 三角形分类 - 约束等价与逻辑同构 63. 三边关系 64. 三边关系-规则一览 〚尖·三角形.1.1.2〛约束分析⭐⭐🏅 65. 三边关系-折线不等式 〚尖·三角形3b.2.4〛☆☆☆☆🏅 七B-三角基础-角度问题 66. 三角角度问题 三角角度-无条件求和 三角角度-角等分与退化问题🆗 三角角度-关系计算 67. 〚新思路7下·14.2(2)·e2〛经典角度问题的多个解法与外角定义💯 68. 〚新思路三17.阶5.11〛结构化数值分析☆☆🏅 69. 角度专题-范围 70. 〚精测7.10.c3〛角度思维拓展，锐角个数🙇㆔

III （二）全等

七年级B-三角-全等 70. 全等-SSA半全等 ✔ 71. 三角全等 全等-基础问题 全等-手拉手 ※全等基础 之 构建全等 ——〚新思路三17.4.6-9〛精解☆☆🏅 全等-SSA半全等 全等-综合 ——〚新思维8-11-15〛⭐⭐⭐🏅 七B-等腰三角形 72. 等腰三角形 73. ——〚新思路三18.复习-13〛有趣的角度比较问题☆🏅

IV （三）四边形

V （四）解三角

VI （五）相似

八年级-相似 77. ⫘相似-平行与比例 （预备知识） 78. ⫘相似-基础 （常见模型综述、内部比外部比） 79. ⫘相似-直角 （常见模型之一） 80. ⫘相似-铁塔模型 （常见模型之一） 81. ⫘相似-寻找相似 （中上难题，解题的关键能力） 82. ⫘相似-构建相似 （中上难题，解题的关键思维） 83. ⫘相似-计算 （专题练习，“证明、计算”两大并驾齐驱类型） 84. ⫘相似-SSA半相似 ✔ （略难的“底层逻辑”，中上难题常见） 85. ⫘相似-综合题 （专题练习，解综合题核心能力，能力点检验） 八年级-相似问题 精解 86. 〚嘉定一模-2025-22〛解析证明法☆☆🏅

VII （六）圆

1. 圆
2. 圆②，基础逻辑：半径相等🔺 〚市北9.27.1-e3〛☆💯
3. 圆⑤，六个角度与弧度🔺
4. 圆④，垂径定理
5. 圆⑦，圆与圆的关系 〚中考上海2024-06〛选择压轴题☆☆💯
6. 圆⑧，圆幂定理🔺
7. 圆-四点共圆 〚260315〛☆☆💯
8. 外接圆 ——〚260615〛外接圆半径求解实例（多方法）☆☆🏅

VIII （七）最值问题

横向专题-最值-几何最值 100. 最值·几何最值 101. 最值·几何最值·点-圆

初中-解析几何

八-解析几何-点与直线 74. 点与直线 75. ——〚260208〛“点-直线”距离，五种方法☆☆🏅 76. 几何解析-等腰直角 ——〚260427〛几何解析-等腰直角 八年级-（代数、几何）解析几何 77. 解析方法

综合题、压轴题

压轴题解析 - 背后的思维、思想、方法与知识 ——上海-2025-各区一模 102. 〚杨浦一模2025-17〛☆💯 103. 〚杨浦一模2025-18〛☆☆☆🏅 104. 〚杨浦一模2025-25〛☆☆☆☆💯🏅 105. 〚嘉定一模-2025-25〛☆☆☆💯 106. 〚金山一模-2025-25三〛☆☆☆☆ ——上海-历年-中考真题 107. 〚中考上海2024-25三〛☆☆☆🏅 108. 〚中考上海2024-06〛选择压轴题☆☆💯 109. 〚中考上海2023-25〛☆☆☆🏅 110. 〚中考上海2022-25〛☆☆🏅 111. 真题-上海二模2024-25 〚闵行二模2024-25(3)〛☆☆☆🏅 竞赛题目解析 - 背后的思维、思想、方法与知识 112. CMO 〚CMO-2025.1〛 〚CMO-2025.2〛 〚CMO-2025.4〛☆☆☆🏅 〚CMO-2024.1〛☆💯 〚CMO-2024.2〛☆☆🏅 〚CMO-2024.2-改〛☆☆🏅 〚CMO-2024.3〛☆☆👍

高中

1. 集合初步 ——〚金典必修1-1.1.2-e4〛映射集合是否相等【习题精解】☆☆🏅